27. Основные теоремы о проекциях векторов.
28. Разложение векторов на компоненты.
Любой вектор можно представить как сумму нескольких векторов.
Рис. 43. Разложение вектора скорости самолета, набирающего высоту, на вертикальную и горизонтальную составляющие.
Например, перемещение тела можно представить как результат нескольких последовательных перемещений, переводящих тело из того же начального в то же конечное положение. Замену одного вектора векторной суммой нескольких других называют разложением вектора на составляющие. Составляющие вектора, конечно, тоже векторы.
Рис. 44. Разложение вектора АВ, в котором задано только направление АС одной составляющей. Вектор АВ может быть представлен как суммы векторов AA1 и АВ1, АА2 и АВ2, АА3 и AB3 и т. д.
Разложение вектора на составляющие можно произвести бесконечным числом способов, точно так же как любую скалярную величину можно разложить бесконечным числом способов на слагаемые.
Можно, например, разложить вектор по двум данным направлениям. Тогда разлагаемый вектор будет служить диагональю параллелограмма, а с заданными направлениями составляющих совпадут стороны параллелограмма (см., например, рис. 43).
Если задать направление только одной составляющей, то задача о разложении вектора не будет иметь никакого определенного ответа; на рис. 44 мы видим, что можно построить сколько угодно параллелограммов с заданной диагональю (разлагаемый вектор) и заданным направлением одной стороны (направление одной из составляющих).
Упражнение. 24.1. Самолет должен приземлиться в пункте А, лежащем в 300 км к юго-западу от аэродрома вылета, но предварительно он должен сбросить вымпел над аэродромом В, лежащим в 400 км к юго-востоку от аэродрома вылета. Чему равна длина перемещения АВ?
Чаще всего производят разложение векторов по направлениям осей какой-либо определенной прямоугольной системы координат (рис. 45). Выбрав определенную систему координат, можно охарактеризовать вектор величиной и знаком его составляющих, уже не указывая их направления.
Рис. 45. Составляющие ах, ау и проекции ах, ау вектора а на оси координатной системы Оху.
Рис. 46. Проектирование движения точки М на оси координат.
Знак выбирают положительным, если направление составляющей совпадает с положительным направлением соответственной оси координат, и отрицательным, если эти направления противоположны. Величину составляющей, взятую со своим знаком, называют проекцией вектора на направление соответственной оси. Проекция вектора — скаляр.
Пусть какая-либо точка движется по прямой. Выберем какую-нибудь определенную систему координат Оху и спроектируем движущуюся точку на оси координат (рис. 46). На рисунке показаны проекции Мх и Му точки, занимающей в данный момент положение М, При движении точки будут двигаться и ее проекции. Если точка М совершила перемещение АВ, то за то же время ее проекции совершили перемещения АХВХ, АуВу по соответственным осям. Из построения видно, что проекции перемещения движущейся точки М равны перемещениям ее проекций Мх и Му по осям координат. Если точка двигалась равномерно, то проекции также двигались равномерно. Разделив перемещения точки и ее проекций на время t движения точки, найдем скорости v, vx и vy точки М и ее проекций. Можно показать, что проекция скорости точки равна скорости движения ее проекции. Точно так же можно показать, что при неравномерном движении точки по прямой проекции ее мгновенной скорости и проекции ее ускорения равны мгновенным скоростям и ускорениям ее проекций. Обратно, если известны перемещения, скорости или ускорения проекций движущейся точки на оси координат, то можно найти вектор перемещения, скорости или ускорения, приписывая проекциям направления соответственных осей координат и складывая получившиеся составляющие искомого вектора по правилу параллелограмма.
Таким образом, вместо того, чтобы рассматривать движение точки в произвольном направлении, мы всегда можем рассматривать движение только вдоль определенных прямых—осей координат. В ряде случаев выбор осей подсказывается самими условиями задачи. Например, изучая движение брошенного тела, удобно выбрать оси координат по вертикали и по горизонтали.