18. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и теорема о числе решений в ее составе.

Предложение 15.2   Однородная система уравнений

(15.7)

всегда является совместной.

        Доказательство.    Для этой системы набор чисел   ,   ,   ,  является решением.      

В этом разделе мы будем использовать матричную запись системы:  .

        Предложение 15.3   Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.

        Доказательство.     Пусть   и   служат решениями системы   . Тогда   и   . Пусть   . Тогда

Так как   , то    -- решение.

Пусть    -- произвольное число,   . Тогда

Так как   , то    -- решение.      

        Следствие 15.1   Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.

Действительно, умножая ненулевое решение на различные числа, будем получать различные решения.    

        Определение 15.5   Будем говорить, что решения  системы   образуют фундаментальную систему решений, если столбцы   образуют линейно независимую систему и любое решение системы является линейной комбинацией этих столбцов.         

        Определение 15.6   Пусть    -- фундаментальная система решений однородной системы   . Тогда выражение

где    -- произвольные числа, будем называть общим решениемсистемы   .         

Из определения фундаментальной системы решений следует, что любое решение однородной системы может быть получено из общего решения при некоторых значениях   . И наоборот, при любых фиксированных числовых значениях   из общего решения получим решение однородной системы.

Как находить фундаментальную систему решений мы увидим позже, в разделе "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)".

        Теорема 15.3   Пусть    -- фундаментальная система решений однородной системы   . Тогда   , где    -- число неизвестных в системе. 

19. Связь решений линейной неоднородной и соответствующей ей однородной систем.

Пусть

(вообще говоря, неоднородная) совместная система линейных уравнений с множеством решений  ,

соответствующая ей однородная система линейных уравнений с множеством решений  .

Теорема 4.2.1. Пусть  ,  ,  . Тогда:

1. если  , то  ,

2. если  , то  ,

3. если  ,  , то  ,

4. если  , то  .

Доказательство. Для любого i,  : 

Следствие 4.2.2.

1. Множество решений однородной системы   является линейным пространством (подпространством линейного пространства Kⁿ ).

2. Если   (любое частное решение совместной неоднородной системы), то

т. е. множество решений неоднородной системы X является сдвигом подпространства решений однородной системы   на любое частное решение  .

Доказательство. Если  ,  , то в силу 3)  , т. е.  .

Если  , то v=(v-u)+u, при этом в силу 4)  , таким образом,  .

Итак, X=X_одн+u.

Замечание 4.2.3. Позже мы покажем, что для любого линейного подпространства U линейного пространства строк Kⁿ над полем K существует однородная система линейных уравнений, для которой X_одн=U, таким образом, любое подпространство в Kⁿ может быть задано как пространство решений однородной системы.