33. Уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой в отрезках
Пусть
на координатных осях заданы точки 
и 
,
причем 
(рис.3.19).
Требуется составить уравнение прямой,
проходящей через эти точки.
Подставляя
в уравнение (3.16) 
,
получаем:
Меняя
левую и правую части равенства, получаем
уравнение
которое
называется уравнением
прямой "в отрезках".
Говорят, что прямая, проходящая через
точки
и
,
отсекает на координатных осях
"отрезки": 
на
оси абсцисс и 
на
оси ординат. Разумеется, длины
отрезков 
и 
равны 
и 
соответственно.
34. Нормальное уравнение прямой. Вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости. Общее уравнение прямой
Ненулевой вектор , перпендикулярный заданной прямой, называется нормальным вектором (или, короче, нормалью) для этой прямой.
Пусть
на координатной плоскости 
(в
прямоугольной системе координат) заданы:
а)
точка 
;
б)
ненулевой вектор 
(рис.3.5,а).
Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
Выберем
на плоскости произвольную точку 
.
Обозначим 
и 
—
радиус-векторы точек
и
.
Точка 
принадлежит
заданной прямой тогда и только тогда,
когда векторы 
и
перпендикулярны
(рис.3.5,б). Условие ортогональности
запишем при помощи скалярного произведения
(см. разд. 1.6.2):
Учитывая,
что 
,
получаем векторное
уравнение прямой:
Это
уравнение можно записать в другой форме.
Преобразуем левую часть ,
используя свойства скалярного произведения
(см. ). Обозначая 
,
получаем уравнение
или 
выражающее
постоянство проекций на
нормаль
радиус-векторов
точек, принадлежащих прямой.
Получим
координатную форму записи векторного
уравнения прямой (3.5). Так как 
и 
,
по формуле (1.9) находим 
или
Полученное
соотношение (3.7) позволяет по координатам
точки
и
координатам 
нормали
записать
уравнение прямой без промежуточных
вычислений.
Обозначив 
,
получим уравнение
которое
называется общим
уравнением прямой на плоскости.
Поскольку коэффициенты
и
не
равны нулю одновременно (это координаты
ненулевого вектора
),
уравнение (3.8) является алгебраическим
уравнением первой степени, т.е. линейным
уравнением с двумя неизвестными.
Следовательно, прямая является
алгебраической линией первого порядка.
Проводя рассуждения в обратном порядке, делаем вывод о том, что линейное уравнение (3.8) задает на координатной плоскости прямую. Полученные выводы сделаны для прямоугольной системы координат, но, учитывая теорему 3.1 (см. ), они переносятся (без изменений) и на любую аффинную систему координат.
35. Общее уравнение плоскости.
Рассмотрим
произвольную точку
в
пространстве и некоторый вектор
Очевидно,
что геометрическим местом точек
таких,
что вектор
перпендикулярен
вектору
будет
плоскость, проходящая через точку M
перпендикулярно прямой, для которой
вектор
является
направляющим. Нашей задачей будет
установить уравнение плоскости, то есть
найти соотношение, которому удовлетворяют
координаты точки A.
Запишем условие перпендикулярности векторов с использованием скалярного произведения:
|
Запишем последнее равенство в координатах:
|
Поскольку все наши выкладки были равносильными, то это и есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку. Преобразуем его к виду
|
Обозначая
получим
|
Это и есть так называемое общее уравнение плоскости.
Определение 9.19.
Вектор
называется
нормальным
вектором
(или просто нормалью)
для плоскости, заданной общим уравнением
(1).
Нормальный вектор к плоскости перпендикулярен ей, что следует из самого вывода уравнения плоскости.
Рассмотрим
плоскость 3x
+ 2y
+ z
– 6 = 0. Пусть A
– точка пересечения этой плоскости с
осью Ox,
то есть A(2;
0; 0). Точка B(0;
3; 0) – это точка пересечения данной
плоскости с осью Oy,
точка C(0;
0; 6) – с осью Oz
(чертеж 9.7.1). Уравнение
называется
уравнением
плоскости в отрезках на осях.
Эта плоскость пересекает оси Ox, Oy, Oz соответственно в точках A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
Плоскость,
изображенная на чертеже 9.7.1, имеет такое
уравнение в отрезках на осях:
Общее уравнение плоскости
,
где вектор
нормали к плоскости - 
.