10. Линейная зависимость и независимость векторов.

     Пусть   – векторы из некоторого линейного пространства.     Определение: Линейной комбинацией векторов  , называется выражение вида:  , где   – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.      Линейная комбинация дает в результате сложения векторов, умноженных на число  , также вектор.      Примеры:          1. 2 (2,5,1) – 4 (1,3,0) + (0,0,1) = (0,-2,3);          2. 3 (5,4) – 5 (-1,2) +2 (-10,-1) = (0,0).     Последний пример показывает, что в некоторых случаях можно в результате линейной комбинации векторов   получить нулевой вектор   при ненулевых коэффициентах (при всех нулевых коэффициентах   мы всегда получим  ).      Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую линейную комбинацию, когда хотя бы один из коэффициентов ее отличен от нуля. Так, в предыдущем примере векторы (5,4), (-1,2), (-10,-1) линейно зависимы.      Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один вектор (при котором стоит отличный от нуля коэффициент) можно выразить линейно через остальные.      Если  , то  .    И наоборот, если вектор  представлен в виде линейной комбинации остальных векторов  , то он в совокупности с ними дает систему   линейно зависимых векторов, т.к. в комбинации  коэффициент  .      Определение. Система векторов называется линейно независимой, если из этих векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, в которой хотя бы один из коэффициентов был бы отличен от 0. Т.е. векторы  будут линейно независимы, если равенство   возможно лишь при всех  . Очевидно, ни один из этих векторов нельзя выразить через остальные.       Пример. Будут ли векторы   линейно зависимыми?     Решение. Составим линейную комбинацию  . Подставим координаты и выполним действия над векторами: λ(2,4)+β(5,1)=(0,0) => (2λ,4λ)+(5β,β)=(0,0) => (2λ+5β,4λ+β)=(0,0).       В равных векторах должны быть равны соответствующие координаты:             Решив эту систему уравнений, получаем:  а это значит, что   линейно независимы.       Пример. Будут ли векторы   линейно зависимыми?   Решение. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к :       Выполнив действия над векторами и приравняв координаты равных векторов, получим       Решим систему уравнений:  .      В этом решении число β играет роль параметра; задавая его произвольно, будем получать значения α и γ, которые вместе с β дают то или иное решение системы. Так, при β ≠ 0 получим α ≠ 0 и γ ≠ 0, из чего следует, что векторы   дают нулевую линейную комбинацию при ненулевых коэффициентах, т.е. они линейно зависимы.

11. Максимальная линейно независимая подсистема векторов. Линейная зависимость векторов

Выражение видаλ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n называется линейной комбинацией векторов A₁, A₂,...,A_n с коэффициентами λ_1, λ₂,...,λ_n.

Определение линейной зависимости системы векторов

Система векторов A₁, A₂,...,A_n называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ_1,λ₂,...,λ_n, при котором линейная комбинация векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет ненулевое решение. Набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ_1, λ₂,...,λ_n отлично от нуля.

Определение линейной независимости системы векторов

Система векторов A₁, A₂,...,A_n называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторовλ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ_1, λ₂,...,λ_n, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет единственное нулевое решение.

Пример 29.1

Проверить, является ли линейно зависимой система векторов

Решение:

1. Составляем систему уравнений:

2. Решаем ее методом Гаусса. Преобразования Жордано системы приведены в таблице 29.1. При расчете правые части системы не записываются так как они равны нулю и при преобразованиях Жордана не изменяются.

3. Из последних трех строк таблицы записываем разрешенную систему, равносильную исходной системе:

4. Получаем общее решение системы:

5. Задав по своему усмотрению значение свободной переменной x₃ =1, получаем частное ненулевое решение X=(-3,2,1).

Ответ: Таким образом, при ненулевом наборе чисел (-3,2,1) линейная комбинация векторов равняется нулевому вектору -3A₁+2A₂+1A₃=Θ. Следовательно, система векторов линейно зависимая.