- •1. Матрицы и действия над ними.
- •2. 1 2 3 И n порядок
- •3. Свойства определителей.
- •4. Разложение определителя по строке или столбцу.
- •5. Определитель произведения матриц.
- •6. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений.
- •7. Обратная матрица и ее вычисление.
- •Свойства обратной матрицы
- •8. Свойства обратной матрицы и новый вывод формул Крамера.
- •9. Определение n-мерных арифметических векторов и действий над ними.
- •10. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •11. Максимальная линейно независимая подсистема векторов. Линейная зависимость векторов
- •Свойства систем векторов
- •12. Определение ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •13. Теорема о равенстве числа векторов в двух максимальных линейно независимых подсистемах векторов.
- •14. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров. Метод окаймляющих миноров
- •15. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований.
- •II. Метод элементарных преобразований
- •16. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем на основе теоремы Кронекера-Капелли.
- •17. Однородная система линейных уравнений. Свойства ее решений.
- •18. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и теорема о числе решений в ее составе.
- •19. Связь решений линейной неоднородной и соответствующей ей однородной систем.
- •20. Метод Гаусса решения линейных уравнений.
- •§ 3. Декартова система координат в пространстве
- •§ 1. Декартова система координат на плоскости
- •22. Полярные координаты на плоскости и их связь с декартовыми прямоугольными координатами.
- •§ 2. Полярная система координат на плоскости
- •23. Понятие свободного вектора. Теорема о проекции вектора на ось.
- •Свободный вектор
- •24. Координаты вектора и их вычисление по координатам его начала и конца. Направляющие косинусы.
- •25. Длина вектора и формула для вычисления расстояния между двумя точками пространства.
- •1.6. Расстояние между двумя точками
- •26. Линейные операции над векторами. Линейные операции над векторами
- •27. Основные теоремы о проекциях векторов.
- •28. Разложение векторов на компоненты.
- •29. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •Геометрический смысл скалярного произведения векторов
- •Алгебраические свойства скалярного произведения
- •Геометрические свойства скалярного произведения
- •30. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения через координаты векторов
- •31. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- •1.16. Смешанное произведение векторов и его свойства
- •Геометрические свойства смешанного произведения
- •Алгебраические свойства смешанного произведения
- •32. Общее уравнение прямой на плоскости.
- •33. Уравнение прямой в отрезках.
- •34. Нормальное уравнение прямой. Вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости. Общее уравнение прямой
- •35. Общее уравнение плоскости.
- •36. Уравнение плоскости в отрезках.
- •37. Нормальное уравнение плоскости, Расстояние от точки до плоскости.
- •38. Канонические уравнения прямой.
- •39. Эллипс: уравнение, общий вид и свойства кривой.
Алгебраические свойства смешанного произведения
1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:
При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:
2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.
Первое свойство следует из геометрического свойства 1 и свойств ориентации троек векторов (см. разд. 1.9), поскольку от перестановки двух множителей модуль смешанного произведения не изменяется, а меняется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки не изменяется.
Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и свойства 1.
Пример 1.21. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен . Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .
Решение. Используя алгебраические и геометрические свойства, найдем смешанное произведение а затем его модуль . По первому геометрическому свойству смешанного произведения искомый объем равен .
Теорема 1.9 (формула вычисления смешанного произведения). Если векторы в правом ортонормированном базисе имеют координаты ; ; соответственно, то смешанное произведение этих векторов находится по формуле
В самом деле, учитывая (1.10) и (1.15), по определению находим: что и требовалось доказать.
32. Общее уравнение прямой на плоскости.
Общее уравнение
Ax + By + C ( > 0).
Вектор = (А; В) - нормальный вектор прямой.
В векторном виде: + С = 0, где - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).
Частные случаи:
1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;
2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;
3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;
4) y = 0 - ось Ox;
5) x = 0 - ось Oy.
Уравнение прямой в отрезках
где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.
Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11)
где - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.
Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:
Здесь - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если и произвольно, еслиC = 0.
Векторно-параметрическое уравнение прямой
где - фиксированная точка, лежащая на прямой; - направляющий вектор (см. рис. 4.11).
В координатах (параметрические уравнения):
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой по двум точкам (рис. 4.12)
или
или
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту (рис. 4.12)
или
где b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.
Отклонение точки от прямой
или
где знак перед корнем противоположен знаку C, если и выбран произвольно, если C = 0.
Расстояние от точки до прямой
Взаимное расположение двух прямых
Прямые и :
пересекаются
параллельны (но не совпадают)
совпадают
Прямые и :
пересекаются
параллельны (но не совпадают)
совпадают
Прямые и :
пересекаются
параллельны (но не совпадают)
совпадают
Угол между двумя прямыми
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых
или или
Расстояние между параллельными прямыми
Если прямые заданы уравнениями и то
а если уравнениями и то
Пучок прямых
Если - центр пучка, то уравнение пучка
Если центр задан пересечением двух прямых
то уравнение пучка