Свойства систем векторов

Свойство (1) Если система векторов линейно зависимая, то хотя бы один из векторов разлагается по остальным и, наоборот, если хотя бы один из векторов системы разлагается по остальным, то система векторов линейно зависимая.

Свойство (2) Если какая-либо подсистема векторов линейно зависимая, то и вся система линейно зависимая.

Свойство (3) Если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.

Свойство (4) Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависимая.

Свойство (5) Система m-мерных векторов всегда является линейно зависимой, если число векторов n больше их размерности (n>m)

12. Определение ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А размера m х n.

Выделим в ней k строк и k столбцов (k≤min(m;n)). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких минoров можно составить    штук, где  

—число сочетаний из n элементов по k.)

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается  r(A) или rang A.

Очевидно, что 0≤r≤min(m; n), где min(m; п) — меньшее из чисел m и n.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Теорема о ранге матрицы.  Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов матрицы А).

Доказательство. Пусть   - столбцы, не входящие в БМ и они - максимальная линейно независимая система. ранг системы столбцов = m (число столбцов входящих в максимальную линейно независимую систему )   по утверждению 1 (если система линейно независима (количество k) и выражается через другую (количество l) то  )  . по утверждению 1 и утверждению 2 (все максимальные линейно независимые системы состоят из одного и тогоже числа столбцов) и в силу того, что все столбцы линейно выражаются через столбцы максимальной линейно независимой системы 

13. Теорема о равенстве числа векторов в двух максимальных линейно независимых подсистемах векторов.

14. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров. Метод окаймляющих миноров

Находить ранг матрицы по определению — вычисляя миноры всех порядков — очень трудоемкая операция. Следующий алгоритм позволяет уменьшить число рассматриваемых миноров.

Пусть дана матрица   размеров  . Будем говорить, что минор   (k+l)-ro порядка окаймляет (содержит в себе) минор   k-го порядка. При описании метода индексы выбранных строк и столбцов, в которых располагается минор, будем указывать, не упорядочивая их по возрастанию. При этом рассматриваемый минор и минор с упорядоченными индексами равны по абсолютной величине и, быть может, отличаются по знаку, но это для метода окаймляющих миноров не имеет никакого значения, поскольку нас интересует только ответ на вопрос: равен минор нулю или нет.

1. Выбираем строку   и столбец   так, чтобы минор 1-го порядка   был не равен нулю. Если это возможно, то  , иначе процесс завершается и  .

2. Окаймляем минор  , добавляя к выбранным  -ой строке и  -му столбцу еще строку   и столбец   так, чтобы минор

Если это возможно, то  , иначе процесс завершается и  .

3. Окаймляем минор  , добавляя к выбранным ранее строкам и столбцам новую строку   и новый столбец   так, чтобы получить минор  . Если это удалось, то  , иначе процесс завершается и  .

Продолжаем процесс окаймления, пока он не завершится. Пусть найден минор r-го порядка  , т.е.  . Однако, все миноры (r+l)-ro порядка, окаймляющие его, равны нулю   или не существуют (при   или  ). Тогда процесс завершается и  .

Пример 3.6. Методом окаймляющих миноров найти ранги матриц

Решение. Матрица  . 1. В этой матрице нет отличных от нуля миноров первого порядка, так как все ее элементы равны нулю. Поэтому  .

Матрица  . 1. Выбираем первую строку   и первый столбец   матрицы  , на пересечении которых стоит ненулевой элемент  . Получили минор  . Следовательно,  .

2. Добавляем к выбранным строке и столбцу еще одну строку   и еще один столбец  . Получаем отличный от нуля минор второго порядка

 Следовательно,  .

3. Поскольку исчерпаны все строки и все столбцы матрицы  , миноров, окаймляющих  , нет. Следовательно,  .

Матрица  . 1. Выбираем первую строку и второй столбец матрицы  , на пересечении которых стоит ненулевой элемент  . Получили минор  . Следовательно,  .

2. Добавляем к уже выбранным вторую строку и третий столбец. Получаем минор второго порядка  . Выбор оказался неудачным, так как получили нулевой минор. Вместо третьего столбца возьмем первый. Тогда получим отличный от нуля минор второго порядка  . Следовательно,  .

3. Все строки матрицы   исчерпаны. Миноров третьего порядка нет. Поэтому  .

Матрица  . 1. Выбираем первую строку   и первый столбец   матрицы  , на пересечении которых стоит ненулевой элемент  . Получили минор  . Следовательно,  .

2. Добавляем к выбранным строке и столбцу еще одну строку   и еще один столбец  . Получили минор второго порядка  . Выбор второго столбца оказался неудачным, так как получили минор, равный нулю. Возьмем вместо второго третий столбец  . Получим минор  . Следовательно,  .

3. Окаймляем минор  . Имеется три окаймляющих минора

Три определителя равны нулю, так как третья строка равна сумме первых двух строк. Следовательно, нельзя найти отличный от нуля окаймляющий минор 3-го порядка, т.е. ранг матрицы   равен 2.

Замечание 3.4. Метод окаймляющих миноров позволяет уменьшить по сравнению с определением количество рассматриваемых миноров. Если в матрице размеров   выбран минор r-го порядка  , то количество окаймляющих его миноров (r+l)-ro порядка равно , а общее количество миноров (r+1)-го порядка гораздо больше.