Геометрические свойства скалярного произведения

С помощью скалярного произведения можно находить основные метрические величины: длины отрезков (или, что то же самое, длины векторов) и величины углов (см. разд.В.1).

1. Длина вектора а находится по формуле:  .

2. Величина   угла между ненулевыми векторами находится по формуле:

Отсюда заключаем, что:

— ненулевые векторы   и   перпендикулярны   тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:  ;

— угол между ненулевыми векторами   и   острый   тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно;

— угол между ненулевыми векторами   и   тупой   тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.

3. Алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора   на ось, задаваемую вектором .

4. Ортогональная проекция вектора   на ось, задаваемую вектором .

Если ось задается единичным вектором  , то .

Свойства 1 и 2 следуют непосредственно из определения скалярного произведения. Третье и четвертое свойства вытекают из геометрического смысла скалярного произведения (см. (1.8)) и п.1 замечаний 1.4.

30. Векторное произведение векторов и его свойства.

Вектор   называется векторным произведением неколлинеарных векторов   и  , если:

1) его длина равна произведению длин векторов   и   на синус угла между ними:   (рис.1.42);

2) вектор   ортогонален векторам   и  ;

3) векторы   (в указанном порядке) образуют правую тройку.

Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.

Векторное произведение обозначается   (или  ).

Алгебраические свойства векторного произведения

Для любых векторов   и любого действительного числа  :

1.  ;

2.  ;

3.  .

Первое свойство определяет антисимметричность векторного произведения, второе и третье — аддитивность и однородность по первому множителю. Эти свойства аналогичны свойствам произведения чисел: первое свойство "противоположно" закону коммутативности умножения чисел (закон антикоммутативности), второе свойство соответствует закону дистрибутивности умножения чисел по отношению к сложению, третье — закону ассоциативности умножения. Поэтому рассматриваемая операция и называется произведением векторов. Поскольку ее результатом является вектор, то такое произведение векторов называется векторным.

Докажем первое свойство, предполагая, что векторы   и   не коллинеарны (в противном случае обе части доказываемого равенства равны нулевому вектору). По определению векторы   и   имеют равные а длины  и коллинеарны (так как оба вектора перпендикулярны одной плоскости). По определению тройки векторов   и   — правые, т.е. вектор   направлен так, что кратчайший поворот от   к   происходит в положительном направлении (против часовой стрелки), если смотреть из конца вектора  , а вектор   направлен так, что кратчайший поворот от   к   происходит в положительном направлении, если смотреть из конца вектора   (рис. 1.43). Это означает, что векторы   и   противоположно направлены. Следовательно,  , что и требовалось доказать. Доказательство остальных свойств приведено ниже (см. пункт 1 замечаний 1.13).

Замечания 1.12.

1. Свойства аддитивности и однородности векторного произведения означают линейность векторного произведения по первому множителю: для любых векторов   и любых действительных чисел   и  .

2. В силу антисимметричности векторное произведение линейно и по второму множителю, т.е. линейно по любому множителю.