75. Определение устойчивости сар по расположению корней на корневой плоскости.

Основа корневых методов – анализ расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы в комплексной плоскости по Ляпунову.

(4)

Расположение корней характеристического уравнения замкнутой системы в комплексной плоскости характеризует не только устойчивость, но и качество системы (рис. 7)

При этом косвенными показателями качества являются:

1)Степень устойчивости - ₀ – расстояние от мнимой оси до ближайшего корня или пары корней. Этот показатель характеризует быстродействие системы.

2) Колебательность -

3) Затухание (демпфирование)-

линия 1 определяет запас устойчивости, а линия 2 определяет колебательность. Если корни расположены в области ограниченной линиями 1 и 2, то система удовлетворяет заданным ₀ и .

Определение длительности переходного процесса.

Корни ближайшие к мнимой оси являются определяющими (доминирующими), они определяют характер переходного процесса. Если ближайшим к мнимой оси является вещественный корень, то переходный процесс имеет вид: (5)

Правила:

1)Наиболее медленно затухает та составл-я Y(t), кот-я соот-т корню с наименьшей веществ-й частью.Если а_к=0, то данная составл-я вообще не затухает.

Y(t)=сумматор(1до к)С_К*е^pkt ; pk=a_k+-jβ_k

2)Если ближайшая к мнимой оси корни веществ-е, то перех-й проц-с апериодич-й.Если комплексные корни-то п..п. колеб-й.