10.4 Компоненты ряда динамики

Ряд динамики может быть подвержен влиянию факторов эволю­ционного и осциллятивного характера, а также находиться под влия­нием факторов разного воздействия.

Влияния эволюционного характера - это изменения, определяющие некое общее направление развития, как бы многолетнюю эволюцию, которая пробивает себе дорогу через другие систематические и случайные колебания. Такие изменения динамического ряда называ­ются тенденцией развития, или трендом.

Влияния осциллятивного характера - это циклические (конъюнктурные) и сезонные колебания. Циклические (или периодические) состоят в том, что значение изучаемого признака в течение какого-то

423

времени возрастает, достигает определенного максимума, затем понижается, достигает определенного минимума, вновь возрастает до прежнего значения и т.д. Иначе циклические колебания можно схема­тически представить в виде синусоиды у = sin/. Циклические колеба­ния в экономических процессах примерно соответствуют так называ­емым циклам конъюнктуры. Сезонные колебания - это колебания, периодически повторяющиеся в некоторое определенное время каж­дого года, дня месяца или часа дня. Эти изменения отчетливо наблю­даются на графиках многих рядов динамики, содержащих данные за период не менее одного года.

Наконец, рассмотрим нерегулярные колебания, которые для соци­ально-экономических явлений можно разделить на две группы:

• спорадически наступающие изменения, вызванные, например, войной или экологической катастрофой;

• случайные колебания, являющиеся результатом действия боль­шого количества относительно слабых второстепенных фак­торов.

Следовательно, первоначальные значения ряда динамики подвер­гаются самым разнообразным воздействиям. Выделим его четыре основные компоненты:

• основную тенденцию (тренд) (Т);

• циклическую, или конъюнктурную (К);

• сезонную (5);

• случайные колебания (£).

Если ряд динамики разбить на различные компоненты, то он пред­ставляется в следующем виде:

В зависимости от взаимосвязи этих компонент между собой мо­жет быть построена аддитивная или мультипликативная модель ряда динамики.

Аддитивная модель ряда динамики^ = Т+ К+ S +£ характеризу­ется главным образом тем, что характер циклических и сезонных флюктуации (колебаний) остается постоянным (рис. 10.3).

Мультипликативная модель ряда динамики у = Т • К • S + Е. В этой модели характер циклических и сезонных флюктуации оста­ется постоянным только по отношению к тренду (рис. 10.4).

424

Рис. 10.3. Сочетание различных составляющих ряда динамики при аддитивной связи

Рис. 10.4. Сочетание различных составляющих ряда динамики при мультипликативной связи

10.5

Виды трендовой компоненты и проверка гипотезы о существовании тенденции

Тренд - это долговременная компонента ряда динамики. Она ха­рактеризует основную тенденцию развития явления, при этом осталь­ные компоненты рассматриваются только как мешающие процедуре его определения. При наличии ряда наблюдаемых значений для раз­личных моментов времени следует найти подходящую трендовую кривую, которая сгладила бы остальные колебания.

Виды основной тенденции. В социально-экономических рядах Динамики можно наблюдать тенденцию трех видов:

• среднего уровня;

• дисперсии;

• автокорреляции.

Тенденция среднего уровня аналитически выражается с помощью математической функции, вокруг которой варьируют фактические уровни исследуемого явления. В таком случае значения тренда в отдельные моменты времени будут являться математическим ожиданием ряда динамики. Часто тенденция среднего уровня называется

425

детерминированной составляющей исследуемого явления, и соответ­ствующий ряд динамики выражается следующим уравнением:

(10.16)

Тенденция дисперсии представляет собой тенденцию изменения отклонений между эмпирическими уровнями и детерминированной компонентой ряда.

Тенденция автокорреляции характеризует изменения связи между отдельными уровнями ряда динамики. Графически это изменение не прослеживается. Однако прежде чем перейти к выделению тренда, сле­дует проверить гипотезу о том, существует ли он вообще. Отсутствие основной тенденции (тренда) означает неизменность среднего уровня ряда во времени.

Методы выявления наличия тенденции. В настоящее время для проверки наличия тренда известно около десятка критериев, различа­ющихся как по мощности, так и по сложности математического аппа­рата. Рассмотрим два из них: метод, основанный на проверке разности средних двух разных частей одного и того же ряда, и метод Фостера-Стюарта.

Метод проверки существенности разности средних основан на /-критерии Стьюдента. Ряд динамики разбивается на две равные или почти равные части. Проверяется гипотеза о существовании разно­сти средних: Ну : у^ =у^.

Воспользуемся методом проверки, разработанным для малых вы­борок, так как число членов анализируемого ряда, как правило, довольно незначительно. За основу проверки берется «х-критерий Стьюдента. При (S /а гипотеза об отсутствии тренда отвергается, при t< to. гипо­теза (Ну) принимается. Здесь / - расчетное значение, найденное для анализируемых данных, /а - табличное значение этого критерия при уровне вероятности ошибки, равном а. В случае равенства или при несущественном различии дисперсий двух исследуемых совокупнос-тей (ст²^ = оу исчисляется отношение средних с помощью выражения:

средние для первой и второй половины ряда динамики;

число наблюдений в этих частях ряда;

среднее квадратическое отклонение разности средних.

426

Значение /а берется с числом степеней свободы, равным n1 +n2- 2. Необходимое значение о можно определить на основе средней взве­денной величины дисперсий отдельных совокупностей:

(10.18)

При оценивании дисперсий для первой и второй частей ряда ди­намики (сигма1)² и (сигма2)о² возьмем число степеней свободы, равное n1-1 и n2-1 соответственно:

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий реализуется с помо­щью F-критерия, который основан на сравнении расчетного отноше­ния с табличным.

(10.19)

Если расчетное значение F меньше, чем табличное, при заданном Уровне вероятности, то можно принять гипотезу о равенстве диспер­сий. Если же F больше, чем табличное значение, то гипотеза о равен­стве дисперсий отклоняется и формула (10.17) для испытания разности средних не может быть применена.

Следует заметить, что данный метод дает вполне приемлемые резyльтaты лишь в случае рядов с монотонной тенденцией. Когда же ряд Динамики меняет общее направление развития, то точка поворота тен­денции оказывается близкой к середине ряда, поэтому средние двух отрезков будут близки, а проверка может не показать наличие тенденции.

Метод Фостера-Стюарта кроме определения наличия тенден-Цни явления позволяет выявить основную тенденцию дисперсии уровней ряда динамики, что важно знать при анализе и прогнозировании гномических явлений.

427

Расчет состоит из следующих этапов.

1. Сравнивается каждый уровень ряда со всеми предыдущими при этом

2. Вычисляются значения величин Sud:

Анализируя формулу (10.20), нетрудно заметить, что величина может принимать значения 0 $ S ^ и - 1, причем 5=0, когда все уров­ни ряда равны между собой, и S = п -1, когда ряд динамики монотон­но убывает или возрастает. Показатель S характеризует тенденцию изменения дисперсии ряда динамики.

Показатель d имеет нижний предел, равный -(п - 1), и верхний составляет (п - 1). В первом случае ряд является монотонно убываю­щим, во втором - монотонно возрастающим. Кроме того, показатель d может быть равен нулю:

• если все уровни ряда равны между собой, тогда ££/, = £/,. (Дан­ное условие выполняется для ряда, который в первой половине является монотонно убывающим, а во второй - монотонно воз­растающим.);

• если уровни подъема и спада чередуются, причем каждое сле­дующее значение уровня подъема (спада) больше (меньше) всех последующих.

Перечисленные случаи, при которых показатель d = 0, представ­ляют лишь теоретический интерес, и вероятность их использования при проведении практических расчетов крайне незначительна. Пока­затель d характеризует изменение тенденций в среднем.

Оба показателя, S и d, асимптотически нормальны и имеют неза­висимые распределения.

3. Проверяется с использованием /-критерия Стьюдента гипотеза о том, можно ли считать случайными разности S - ц и d - 0:

428

(10.21)

среднее значение величины S, определенное для ряда, в котором уровни

расположены случайным образом;

стандартная ошибка величины S;

стандартная ошибка величины d.

Значения величин \l, о, и Стд табулированы и приведены в прило­жении 13.

4. Сравниваются расчетные значения ^ и Г, с табличным при за­данном уровне значимости. Если ^ < ^ и (, < t^, то гипотеза об отсутствии тренда в средней и дисперсии подтверждается.

Пример. Рассмотрим определение наличия тенденции в ряду ди­намики производства реализованной продукции на производствен­ном объединении за 1982 - 2001 гг. (табл. 10.7).

Таблица 10.7