Расчет средней общей (полезной) площади жилищ, приходящейся на 1 чел., и дисперсии

Общая (полезная) площадь жилищ, приходящаяся	Число жителей /	Середина интервала X	rf	хУ
на 1 чел., кв. м
До 5,0	8	2,5	20,0	50,0
5,0-10,0	95	7.5	712,5	5343,75
10,0-15,0	204	12.5	2550,0	31875,0

Продолжение

Общая (полезная) площадь жилищ, приходящаяся на 1 чел., кв. м	Число жителей /	Середина интервала	V	^/
15,0-20,0	270	17,5	4725,0	82687,5
20,0-25,0	210	22,5	4725,0	106312,5
25,0-30,0	130	27,5	3575,0	98312,5
30,0 и более	83	32,5	2697,5	87668,75
Итого	1000	-	19005,0	412250,0

Средняя ошибка выборки составит:

Определим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,954 (/=2):

Установим границы генеральной средней:

298

или

Таким образом, на основании проведенного выборочного обсле­дования с вероятностью 0,954 можно заключить, что средний размер общей площади, приходящейся на 1 чел., в целом по городу лежит в

пределах от 18,5 до 19,5 кв. м.

При расчете средней ошибки собственно-случайной бесповторной выборки необходимо учитывать поправку на бесповторность отбора:

(8.6)

Если предположить, что представленные в табл. 8.4 данные явля­ются результатом 5%-го бесповторного отбора (следовательно, гене­ральная совокупность включает 20 000 ед.), то средняя ошибка вы­борки будет несколько меньше:

Соответственно уменьшится и предельная ошибка выборки, что вызовет сужение границ генеральной средней. Особенно ощутимо влияние поправки на бесповторность отбора при относительно боль­шом проценте выборки.

Мы рассмотрели определение границ генеральной средней. Рас­смотрим теперь, как определяются границы генеральной доли, т.е. гра­ницы доли единиц, обладающих тем или иным значением признака.

Воспользуемся еще раз данными табл. 8.4 для того, чтобы опреде­лить границы доли лиц, обеспеченность жильем которых составляет менее 10 кв. м. Согласно результатам обследования, численность таких лиц составила 103 чел. Определим выборочную долю и дисперсию:

299

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

Предельнахюшнбка выборки с заданной вероятностью составит:

Определим границы генеральной доли:

или

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля лиц, имеющих менее 10 кв. м жилья на человека, в целом по данному городу находится в пределах от 8,4 до 12,2%.

Мы рассмотрели определение границ генеральной средней и ге­неральной доли по результатам уже проведенного выборочного на­блюдения при известном объеме выборки или проценте отбора. На этапе же проектирования выборочного наблюдения именно объем выборочной совокупности и требует определения.

Чем больше объем выборки, тем меньше значения средней и пре­дельной ошибок выборочного наблюдения и, следовательно, тем уже границы генеральной средней и генеральной доли. В то же время необ­ходимо учитывать, что большой объем выборки приводит к удорожа­нию обследования, увеличению сроков сбора и обработки материалов, требует привлечения дополнительного персонала и соответствующего материально-технического обеспечения. Поэтому при подготовке вы­борочного наблюдения необходимо определить тот минимально необ-

,300

водимый объем выборки, который обеспечит требуемую точность по­дученных статистических характеристик при заданном уровне вероят­ности.

Представим формулу (8.4) следующим образом:

(8.7)

Отсюда можно вывести формулу для определения необходимого объема собственно-случайной повторной выборки:

(8.8)

Полученный на основе использования формулы (8.8) результат всегда округляется в большую сторону. Например, если необходимый объем выборки составляет 493,1 ед., то, обследовав 493 ед., мы не достигнем требуемой точности. Поэтому для достижения желаемого результата обследованием должны быть охвачены 494 ед. С другой стороны, рассчитанное значение необходимого объема выборки сво­бодно может быть увеличено в большую сторону на несколько еди­ниц. Если мы располагаем необходимыми ресурсами, если по причи­нам организационного порядка (компактность расположения единиц, фиксированная нагрузка на каждого регистратора и т.п.) мы вполне можем охватить больший объем, то включение в выборочную сово­купность 500 или, например, 550 ед. только уменьшит значения полу­ченных случайной и предельной ошибок.

Как видно из формулы (8.8), необходимый объем выборки будет тем больше, чем выше заданный уровень вероятности и чем сильнее варьирует наблюдаемый признак. В то же время повышение допусти­мой предельной ошибки выборки приводит к снижению необходи­мого ее объема.

Предположим, что в рассмотренном выше примере нас вполне уст­роят границы генеральной средней (средней площади, приходящейся на 1 чел.) с точностью 0,5 кв. м. Определим необходимый объем выборки:

301

Мы получили, что для определения с заданной точностью границ средней площади, приходящейся на 1 жителя, достаточно в порядке собственно-случайной повторной выборки обследовать 821 чел.

Расчет необходимого объема выборки предполагает, что органи­заторы выборочного наблюдения уже на этапе его проектирования располагают по крайней мере косвенными данными о вариации изу­чаемых признаков. Источниками таких данных могут служить:

• результаты обследования данного объекта в предшествующие периоды;

• результаты обследования аналогичных объектов (жителей дру­гих населенных пунктов, предприятий других регионов и т.п.);

• специально проведенное небольшое по объему выборочное обследование данного объекта, ставящее целью лишь изучение ва­риации наблюдаемых признаков.

При определении необходимого объема выборки для определе­ния границ генеральной доли задача оценки вариации решается зна­чительно проще. Если дисперсия изучаемого альтернативного при­знака неизвестна, то можно использовать ее максимальное возможное значение:

Пример. Предприятию связи с вероятностью 0,954 необходимо определить удельный вес телефонных разговоров продолжительнос­тью менее 1 мин. с предельной ошибкой 2%. Сколько разговоров нуж­но обследовать в порядке собственно-случайного повторного отбора для решения этой задачи?

Для получения ответа на поставленный вопрос воспользуемся формулой (8.8) и будем ориентироваться на максимальную возмож­ную дисперсию доли телефонных разговоров такой продолжитель­ности. Расчет приводит к следующему результату:

302

Таким образом, обследованием должны быть охвачены не менее 2 500 разговоров на предмет их продолжительности.

Необходимый объем собственно-случайной бесповторной выборки может быть определен по следующей формуле:

(8.9)

Формула (8.9) выводится из формулы (8.4) при условии расчета средней ошибки выборки с поправкой на бесповторность отбора. При определении границ генеральной доли в знаменатель этой формулы подставляется допустимая предельная ошибка доли Д .

Пример. В табл. 8.4 представлены результаты 5%-го бесповторно­го выборочного обследования (следовательно, объем генеральной со­вокупности составляет 20 000 чел.). Воспользовавшись значением дис­персии, полученным на основе расчетов, произведенных в табл. 8.5, определим необходимую численность собственно-случайной беспов­торной выборки для определения жилищных условий с предельной ошибкой, не превышающей 0,5 кв. м, при уровне вероятности 0,954:

Выполненный расчет показал, что для достижения заданной точ­ности необходимо обследовать не менее 788 чел. Как и следовало ожидать, необходимая численность бесповторной выборки оказалась несколько меньше необходимой численности выборки при повтор­ном отборе, полученной выше (821 чел.).

Укажем на одну особенность формулы (8.9). При проведении вы­числений объем генеральной совокупности должен быть выражен только в единицах, а не в тысячах или в миллионах единиц. Напри­мер, подставив в данную формулу общую численность населения ре­зона, выраженную в тысячах человек, мы не получим правильного эначения необходимой численности выборки, также выраженной в тысячах человек, как это иногда бывает в других расчетах. Результат вычислений будет неверен.

303