1.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Функция
называется бесконечно
малой при
(
),
если предел её равен нулю, т.е.
.
Обычно
бесконечно малые функции обозначают:
.
Примеры.
1.
бесконечно
малая функция при
,
так как
.
2.
бесконечно
малая функция при
,
так как
.
3.
-
бесконечно малая функция при
,
так как
.
Функция
называется бесконечно
большой при
(
),
если
.
Примеры.
1.
- бесконечно большая функция при
,
так как
.
2.
-
бесконечно большая функция при
,
так как
.
Замечание.
Очевидно,
что если
бесконечно
малая функция при
,
то
бесконечно
большая функция при
.
Связь
между видом графика функции
в окрестности точки
и пределом
проиллюстрирована на рис.2.
2
1
0
-1
-2
0
1
(а) Рис.2. (б)
Для
функции
на рис.2(а):
не существует (
),
-
не существует.
При
-
бесконечно малая величина;
При
-
бесконечно большая положительная
величина;
При
- бесконечно большая отрицательная
величина;
При
-
бесконечно большая положительная
величина.
Для
функции на рис.2(б):
-
не существует;
,
т.е.
отрицательная
бесконечно большая величина при
.
1.3. Основные теоремы о пределах.
Если
функции
и
имеют пределы при
,
то:
Примеры. Найти указанные пределы:
Решение.
1.
Данная функция является элементарной,
она определена в предельной точке
,
поэтому находим предел функции как её
частное значение в предельной точке.
2.Рассмотрим
заданную функцию как элементарную,
определённую в предельной точке
,
следовательно, значение предела совпадает
со значением функции в этой точке
=
.
3. Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен 0. Пользуясь теоремой о пределе частного, получим:
4.
Так как предел знаменателя равен 0 (в
знаменателе стоит бесконечно малая
величина при
),
то непосредственно применять теорему
о пределе частного нельзя. В числителе
стоит величина ограниченная, отличная
от 0. Под знаком предела будет произведение
ограниченной величины
,
отличной от 0, на бесконечно большую
величину
при
как величину, обратную бесконечно малой.
Следовательно, величина
есть бесконечно большая при
.
Раскрытие математических неопределённостей.
I.
При вычислении
возможен случай, когда
=0,
т.е. дробь терпит разрыв в точке
.
В этом случае говорят, что имеем
неопределённость
.
Происходит это потому, что функции
содержат множитель
,
который обращается в 0 при
.Необходимо
его выделить и сократить дробь по схеме:
Примеры. Найти указанные пределы:
Решение.
1) Найдём корни трёхчленов:
2) Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженные им выражения
3)
Во многих случаях используют первый
замечательный предел и следствия из
него:
.
II.
Если при
и
,
то отношение
представляет неопределённость вида
.
В этом случае рекомендуется числитель
и знаменатель дроби разделить на старшую
степень x.
Примеры. Вычислить указанные пределы:
Решение.
1) Разделив числитель и знаменатель
дроби на старшую степень
,
получим:
2)
Старшая степень в этом примере
,
поэтому числитель и знаменатель разделим
на x:
III.
При вычислении
возможен случай, когда
и
.
Тогда разность
есть неопределённость
.
С помощью тождественных преобразований
она приводится к виду
или
.
Пример.
Вычислить предел
Решение.
Приведём дроби к общему знаменателю,
предварительно разложив знаменатель
первой дроби по формуле разности кубов.
IV.Раскрытие
степенных неопределённостей
Пусть
необходимо найти
.
Если при этом:
и
,
то имеем неопределённость
;
и
,
то имеем неопределённость
и
,
то имеем неопределённость
.
Эти
неопределённости раскрываются с помощью
второго замечательного предела:
Используются также следствия из этой формулы:
Примеры. Вычислить указанные пределы:
Решение.
1)
2) Здесь
,
поэтому получим неопределённость вида
.
Так как
,
то
.
Обозначим
,
тогда
при
,
причём
.
Найдём предел основания:
.
Найдём предел показателя:
.Таким
образом
.