- •Введение
- •§1 Введение в анализ.
- •1.1.Понятие предела функции в точке.
- •1.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •1.3. Основные теоремы о пределах.
- •Раскрытие математических неопределённостей.
- •1.4. Односторонние пределы.
- •1.5. Непрерывные функции.
- •Общая схема исследования непрерывности функции.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •§ 2. Производная функции.
- •Определение производной, её физический, геометрический смысл.
- •Геометрический смысл производной.
- •2.2. Правила дифференцирования. Таблица производных.
- •2.3. Производные высших порядков.
- •2.4. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
- •2.5. Вычисление пределов по правилу Лопиталя.
- •§3. Исследование функций при помощи производных.
- •3.1. Монотонность функции.
- •3.2. Экстремум функции.
- •Направление выпуклости графика функции.
- •3.4.Точки перегиба.
- •Асимптоты графика функции.
- •§ 4. Общая схема исследования функции.
- •Заключение.
- •Литература.
2.3. Производные высших порядков.
Производную функции называют также производной первого порядка. Функция также может быть дифференцируемой, ее производная будет называться производной второго порядка функции .
Обозначение: , .
Производная от производной второго порядка (если она существует) называется производной третьего порядка и т. д.
Производной - го порядка называется производная от производной - го порядка, т. е. .
Для обозначения производных четвертого и выше порядков используют римские цифры. Например, или - производная шестого порядка. Производные порядков, выше первого, называются производными высших порядков.
Пример 1. Вычислить производную третьего порядка функции .
Решение: Нахождение производной третьего порядка необходимо начать с производной первого порядка.
.
Если функция описывает закон прямолинейного движения материальной точки, то производная второго порядка функции представляет собой скорость изменения скорости функции (т. е. ускорение) в определенный момент времени . В этом состоит ее физический смысл.
Пример 2. Найти зависимость ускорения прямолинейного движения, заданного законом от времени .
Решение:
.
Пример 3. Точка движется прямолинейно по закону
Найти скорость и ускорение движения точки для момента времени t=1 (S дается в сантиметрах ,t -в секундах ).
Решение: скорость ;
ускорение Следовательно, в момент времени t = 1:
2.4. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
С понятиями производной тесно связано понятие дифференциала (от него происходит название дифференциального исчисления). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Дадим аргументу приращение и рассмотрим приращение функции .
Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение функции в точке может быть представлено в виде , где и - бесконечно малые при , причем - бесконечно малая величина одного порядка с ( - бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ). Величина называется главной частью приращения функции или дифференциалом функции в точке и обозначаемая .
Определение. Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, т. е. ил .
Примеры.
1). Найти дифференциал функции .
Решение.По формуле находим .
2).Найти дифференциал функции в точке , если .
Решение: .
.
Геометрический смысл дифференциала:
L
K
Рис. 8
Проведем к графику функции в точке касательную , угол наклона которой равен . Рассмотрим , в котором сторона . Учитывая, что , , получим: , сравнивая с определением дифференциала функции.
.
Т.о. дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, когда аргумент получит приращение (рис.8). Из определения дифференциала и правил вычисления производных следуют правила вычисления дифференциала функции:
;
;
;
;