Геометрический смысл производной.

Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке, и точка принадлежит этому промежутку.

Рис.7

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной ( ), проведенной к графику функции в точке (рис 7)

.

К вычислению производной приводит решение и некоторых других задач:

• если - количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время , то сила тока в момент времени равна ;

• если - количество вещества, вступившего в химическую реакцию за время , то скорость химической реакции в момент времени равна ;

• если - количество бактерий в момент времени , то скорость процесса размножения в момент времени равна .

В общем случае производная функции представляет собой мгновенную скорость изменения данной функции при изменении её аргумента. В этом состоит физический смысл производной.

Вычисление производной функции по определению достаточно трудоемкая работа. Этот процесс значительно упростится, если для вычисления производной функции использовать основные правила дифференцирования и таблицу производных основных элементарных функций.

2.2. Правила дифференцирования. Таблица производных.

Правило 1(производная алгебраической суммы).

Если - дифференцируемые на некотором числовом множестве функции, то .

Правило 2 (производная произведения).

Если и - дифференцируемые на некотором множестве функции, то .

Следствие. Если - постоянный множитель, то .

Правило 3 (производная частного).

Если и - дифференцируемые на некотором множестве функции и , то .

Правило 4 (производная сложной функции).

Если функция определена и дифференцируема на числовом интервале , причем областью значений ее является интервал , а функция определена и дифференцируема на интервале , то производная сложной функции существует и вычисляется по формуле .

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

Таблица производных.

Функция	Производная функции
С, где С-const	0

Примеры: Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций:

5)y=(5+3x)⁷, y=7(5+3x)⁶(5+3x)=21(5+3x)⁶;

6) , y= .

7) y=cos²(x²), y= .

8) , y= .

9) , y= .

При решении примеров 3, 4, 7, выполняя преобразования выражений, использовали формулу: .

Замечание: в некоторых случаях перед вычислением производной полезно предварительно прологарифмировать функциональное выражение.

Пример. Найти производную функции .

Решение: Прологарифмируем равенство по основанию :

Далее продифференцируем полученное равенство по переменной (левая часть представляет сложную функцию, правая - произведение):

.

Заменяя на выражение и выполнив элементарное преобразование, получим . Такой метод дифференцирования называется логарифмическим дифференцированием. Существуют функции (например, степенно-показательная, вида ), производные которых находят лишь этим методом.