Общая схема исследования непрерывности функции.
Точки разрыва функции классифицируются в зависимости от того, в каком смысле нарушено условие непрерывности функции в точке через односторонние пределы.
Если
в точке
функция
имеет
конечный предел слева и конечный предел
справа и они равны между собой, но не
равны значению функции
в точке
,то
точка
называется точкой
устранимого разрыва.
Если
в точке
функция
имеет конечный предел слева и справа и
они разные
,
причем значения не имеет, совпадает ли
значение функции в точке
с одним из этих пределов), то точка
называется точкой
разрыва с конечным скачком функции.
Точки устранимого разрыва и точки разрыва с конечным скачком функции называются точками разрыва первого рода.
Все другие точки разрыва функции называются точками разрыва второго рода. Каждая точка разрыва второго рода функции характеризуется тем, что в этой точке функция не имеет конечного предела по крайней мере с одной стороны,- слева или справа.
Например,
функция
терпит разрыв первого рода в точке
,
так как
и
,
функция в этой точке не определена.
Здесь скачок функции
(рис. 4(а)).
Ф
ункция
в точке
терпит разрыв, так как
не существует (рис. 4(б)).Здесь
.
Это разрыв второго рода.
1
y
0
x
(а) (б)
Рис.4
Задания для самостоятельной работы.
№1. Найти указанные пределы:
;
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
;
;
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
;
23)
;
24)
;
25)
;
26)
;
27)
;
28)
;
29)
;
30)
№2. Найти односторонние пределы:
;
;
;
Найти:
Найти:
;
10)
;
№3. Исследовать непрерывность и построить график функции:
;
;
;
10)
Ответы: №1.
10)1;
11)
;
12)
;
13) 0; 14) 0,5; 15) –1; 16)
;
17) 0, если
и
,
если
;
18) x;
19)
;
20) 0; 21) 0; 22) а; 23)
;
24)
,
воспользоваться тем, что
при
;
25) 0; 26) 1,5; 27) 0; 28)0; 29) е; 30) 0.
№2.
1)
+;
2) 0; 3) не существует; 4) 0; 5) 5, -1; 6)
;
«Дифференциальное исчисление такое же точное,
как и другие алгебраические операции».
(П. Лаплас)
§ 2. Производная функции.
Определение производной, её физический, геометрический смысл.
Р
.
Выделим некоторую точку
,
в
-
окрестности которой функция определена.
Пусть аргумент
получает приращение
,
тогда
-
соответствующее приращение функции,
(рис. 5).
Рис.5
Определение.
Производной
функции
в данной точки
называется предел отношения приращения
функции
к
приращению аргумента
,
если
,
при условии, что этот предел существует.
Обозначение:
;
;
.
Итак:
.
Функция
,
имеющая производную в каждой точке
интервала
,
называется дифференцируемой
на этом интервале; операция нахождения
производной функции называется
дифференцированием.
Примеры: Найти производные указанных функций, используя определение производной:
1)
.
2)
;
Решение:
1)придавая аргументу приращение
,
найдем соответствующее приращение
функции:
.
Составим
предел отношения приращения функции к
приращению аргумента:
;
Следовательно,
2)
.
Справедлива теорема, связывающая непрерывность и дифференцируемость функции.
Теорема: Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.
Замечание:
Обратное
утверждение в общем случае неверно.
Существуют функции, дифференцируемые
во всех точках области определения,
например,
,
и др.. Наряду с такими функциями существуют
функции, не имеющие производных, по
крайней мере, в некоторых точках области
определения (например, функция
не имеет производной в точке
).
На рис.6 изображены примеры таких функций. В точке функция непрерывна, но не имеет в этой точке производную.
y y
x
x
Рис. 6