- •Введение
- •§1 Введение в анализ.
- •1.1.Понятие предела функции в точке.
- •1.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •1.3. Основные теоремы о пределах.
- •Раскрытие математических неопределённостей.
- •1.4. Односторонние пределы.
- •1.5. Непрерывные функции.
- •Общая схема исследования непрерывности функции.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •§ 2. Производная функции.
- •Определение производной, её физический, геометрический смысл.
- •Геометрический смысл производной.
- •2.2. Правила дифференцирования. Таблица производных.
- •2.3. Производные высших порядков.
- •2.4. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
- •2.5. Вычисление пределов по правилу Лопиталя.
- •§3. Исследование функций при помощи производных.
- •3.1. Монотонность функции.
- •3.2. Экстремум функции.
- •Направление выпуклости графика функции.
- •3.4.Точки перегиба.
- •Асимптоты графика функции.
- •§ 4. Общая схема исследования функции.
- •Заключение.
- •Литература.
2.5. Вычисление пределов по правилу Лопиталя.
(Гильом Франсуа Антуан де Лопиталь (1661-1704), французский математик; автор первого учебника по дифференциальному исчислению).
Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки и . Пусть также (или ) в указанной окрестности точки . Тогда, если существует , то .
Правило применимо для устранения неопределенностей и других неопределенностей, к ним сводящихся.
Если в частном в точке неопределенность или по прежнему остается, то следует перейти к отношению и т. д..
Примеры. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.
Задания для самостоятельной работы.
№1.Вычислить производные указанных функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
№2. Привести несколько примеров функции , для которой:
а)
б) ;
№3. . При каких значениях x выполняется условие:
№4. Вычислить если .
№5. Вычислить значения производной функции в точках, в которых значение этой функции равно 0:
№6. Тело движется по прямой так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону (м), где - время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения тело остановится?
№7. Материальная точка массой 2г движется прямолинейно по закону ( - в сантиметрах, - в секундах). В момент времени найдите:
а) скорость движения точки;
б) ускорение движения ;
в) силу, действующую на точку .
№8. Тело, выпущенное вверх с начальной скоростью м/с, движется по закону ( - в метрах, - в секундах). Найдите момент времени, когда скорость движения тела будет в три раза меньше начальной скорости, считая что м/с.
№9. Показать, что функция обращает уравнение в тождество.
№10. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
№11. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
№12. Найти дифференциал функции в точке , если , .
№13. Найти производные второго порядка от следующих функций:
№14. Применяя правило Лопиталя вычислить пределы функций:
; 2) ;
3) 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8)
Ответы:
№1.1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) .
№3. а)1; -2; б) 0; -1;
№4. ;
№5. а) ; б) 2;
№6. 2 с;
№7. а) 25 см/с; б) 16 см/с ; в) 32 дины.
№8. с.
№12. ;
№13.
№14.
«Я с дрожью ужаса отворачиваюсь от ваших несчастных
проклятых функций, у которых нет производных».
(Ш. Эрмит)
§3. Исследование функций при помощи производных.
Возможность применения производных для исследования функций основана на зависимости, существующей между производными и особенностями графика функции.