- •Введение
- •§1 Введение в анализ.
- •1.1.Понятие предела функции в точке.
- •1.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •1.3. Основные теоремы о пределах.
- •Раскрытие математических неопределённостей.
- •1.4. Односторонние пределы.
- •1.5. Непрерывные функции.
- •Общая схема исследования непрерывности функции.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •§ 2. Производная функции.
- •Определение производной, её физический, геометрический смысл.
- •Геометрический смысл производной.
- •2.2. Правила дифференцирования. Таблица производных.
- •2.3. Производные высших порядков.
- •2.4. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
- •2.5. Вычисление пределов по правилу Лопиталя.
- •§3. Исследование функций при помощи производных.
- •3.1. Монотонность функции.
- •3.2. Экстремум функции.
- •Направление выпуклости графика функции.
- •3.4.Точки перегиба.
- •Асимптоты графика функции.
- •§ 4. Общая схема исследования функции.
- •Заключение.
- •Литература.
1.4. Односторонние пределы.
Если и , то принято писать . Если и , то принято писать . Пределы и
, если они существуют, называют соответственно пределом слева (левосторонним пределом) функции в точке и пределом справа (правосторонним пределом) функции в точке . Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы односторонние пределы существовали порознь и равнялись бы между собой, т.е. .
Примеры. Найти односторонние пределы функции:
при ;
при ;
Решение. 1) , т. к. .
, т. к. .
Пределы оказались неравными, следовательно, предела функции в точке не существует.
2) , где ; отсюда видно, что если , то .
.
Пределы оказались неравными, следовательно, предела функции в точке не существует.
1.5. Непрерывные функции.
Для существования предела не имеет значения, определяется или нет эта функция в точке . Например, функция не определена при (неопределенность ), однако (первый замечательный предел).
Дадим несколько определений непрерывной в точке функции, если определена на некотором интервале, содержащем точку .
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если выполняется одно из следующих эквивалентных между собой условий:
(на языке пределов);
Для всякой последовательности значений аргумента , сходящейся к точке , соответствующая последовательность значений функции сходится к , то есть . (на языке последовательностей);
;
а) если определена в точке и вблизи этой точки;
б) существует , существует и ;
в) .
Если нарушается хотя бы одно из условий а)- в) пункта 4, то в точке функция терпит разрыв. При этом - точка разрыва первого рода (точка конечного скачка), если существуют оба односторонних предела и ; - точка разрыва второго рода (точка бесконечного скачка), если или . На графике это выглядит следующим образом.
3
0
1
0
x
(а) (б) (в)
Рис. 3
На рисунке 3 (а) график функции состоит из двух ветвей и одной точки , где по условию:
Функция определена на всей числовой прямой, неэлементарная, т. к. задана двумя различными формулами. Исследуем ее непрерывность в точке , где изменяется ее аналитическое выражение: . В точке устранимый разрыв, в остальных точках она непрерывна.
На рисунке 3 (б) изображена функция , она исследуется в точке , в остальных точках данная функция определена. Найдем предел функции слева в точке : . Найдем предел справа в этой же точке: . Отсюда . Следовательно, в точке функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в точке равен модулю разности . Во всех других точках числовой прямой функция непрерывна, т. к. задана элементарными функциями.
На рисунке 3 (в) представлена неэлементарная функция , которая определена на всем множестве действительных чисел, задана тремя разными формулами на различных промежутках изменения аргумента:
Исследуем непрерывность функции в точках и : ; .
По условию , следовательно, , т. е. непрерывна в точке .
, т. е. имеет разрыв второго рода. В остальных точках числовой оси функция непрерывна.
При отыскании точек разрыва функции следует учесть, что элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, где она не определена.
Неэлементарная функция может иметь разрывы как в точках, в которых она не определена, так и в точках, где она определена; если функция задана несколькими различными аналитическими выражениями( формулами) для различных интервалов изменения аргумента, то она может иметь разрывы в тех точках, при переходе через которые изменяется ее аналитическое выражение.