3.4.Точки перегиба.

Точка графика функции называется точкой перегиба этого графика, если слева и справа от неё график функции имеет различные направления выпуклости (рис. 15).

Рис.15

Если через т.М провести касательную к графику функции, то по одну сторону график лежит ниже, а по другую- выше касательной.

3. Асимптоты графика функции.

Прямая линия называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки М(x; y ), лежащей на кривой, до прямой стремится к 0 при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если , или , или (рис.16(а)).

Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции , если или (рис16(б)).

Прямая является наклонной асимптотой графика функции , если существуют пределы или

(рис16(в)).

y=f(x)

Рис.16.

(а) (б) (в)

§ 4. Общая схема исследования функции.

1. Найти область определения функции ( т.е. те значения, которые может принимать аргумент x). Обозначение: D(y).

2. Общие свойства функции.

а) чётность;

Функция называется чётной, если её область определения симметрична относительно x=0 и для любого x из области определения выполняется равенство: . Таким образом, точки графика с противоположными абсциссами имеют равные ординаты и график симметричен относительно оси Oy. Пример такой функции изображен на рис.17.Функция называется нечётной, если её область определения симметрична относительно x=0 и для любого x из области определения выполняется равенство: .Т.е. точки графика с противоположными абсциссами имеют противоположные ординаты, и график функции симметричен относительно начала координат

(рис.18).

Рис.17 Рис.18

б) периодичность;

Функция называется периодической с периодом T, если для всех значений x из области определения выполняется равенство: .

в) точки пересечения с осями координат.

Замечание. Если исследование по какому-либо из пунктов а)-в) требует сложных вычислений или громоздких преобразований, то этот пункт исследования можно опустить.

3. Монотонность, экстремумы функции.

4. Направление выпуклости, точки перегиба.

5. Асимптоты.

6. Поведение функции на бесконечности

(найти ).

7. Дополнительные точки.

Примеры. Исследовать функцию и построить график.

а) y= .

Решение. 1) В нашем случае D(y)=(-;+), так как имеем многочлен третьей степени, графиком этой функции является кубическая парабола, она определена для любого значения х.

2) Исследуем функцию на четность и нечетность, периодич­ность, найдём нули функции.

Условия у(-х)=у(х) или у(-х)=-у(х) не выполняются, поэтому функция не является ни четной ни нечетной (или является функцией общего вида). Очевидно, функция не­периодическая.

Найдем нули функции (для этого решим уравнение у=0).

1) ; 2)

3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум. Имеем

y= = .

y=0, .Исследуем знаки производной на ин­тервалах, на которые область определения функции разбивается этими точками. Результаты представлены в таблице:

x		-1		3
у	+	0	-	0	+
y				-9

Из таблицы видно, что у_мах=у(-1)= ; у_min=у(3)=-9

4) Найдём интервалы выпуклости, вогнутости графика, точки пе­региба. На этом этапе исследования находим вторую производную. В данном случае:

Иссле­дуем знак у на интервалах, на которые область определния разбивается этими точ­ками. Результаты представлены в таблице:

x		1
у	-	0	+
y		-

Из таблицы видно, что промежуток - промежуток выпук­лости. Второй промежуток - интервал вогнутости, а точка (1; - ) является точ­кой перегиба.

5) Функциональное выражение функции - многочлен, а многочлены асимптот не имеют.

6). Исследуем поведение функции на бесконечности:

;

.

7) Построим график с учетом всего предыдущего исследования (при необходимости следует уточнить отдельные участки кривой, вычислив координаты нескольких дополнительных точек; рис19).

-1

x

y

3 3 3 3

-9

-1

Рис.19

б)

Решение.

1). ;

2). при ;

3). Производная имеет вид .

Решая неравенство f'(x) > 0, получаем: x (- 3;0) (0; + );

при x = 0 функция, очевидно, непрерывна, так что f (x) возрастает на объединённом интервале, то есть при x (- 3; + ). Решение неравенства f'(x) < 0 даёт только один интервал (- ; - 3); на нём функция убывает.

	(-∞;-3)	-3	(-3;0)	0	(0;+∞)
	-	0	+	0	+
Y		min		-

4). Найдем экстремумы функции. В точке убывание функции сменяется возрастанием, значит, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно

Рис.20

Для более точного построения вычисляются дополнительные точки. Чертеж графика функции приведен на рис.20.

Задания для самостоятельной работы.

№1. Записать точки, в которых:

а) производная равна 0;

б) производной не существует;

№2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:

а) ,

б) .

№3. Из чисел отрезка [-1,5; 2] найти такое, для которого разность утроенного числа и его куба наименьшая.

№4. Число 48 представить в виде суммы трёх слагаемых. Два из которых равны, так, чтобы их произведение было наибольшим.

№5. Найти тангенс угла наклона касательной к кривой в точке M(1;7).

№6. Написать уравнение касательной к графику функции с абсциссой , если:

№7. Найти интервалы возрастания (убывания) функции:

№8. Исследовать на экстремум функцию.

№9. Указать интервалы выпуклости, вогнутости графика функции, найти точки перегиба.

№10. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить график.

Ответы.

№2.

№3. -1;2;

№4. 16; 16; 16;

№5. 8;

№6.

№7.

в)убывает на всей области определения;

г) возрастает на всей области определения;

№8.

№9.

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ №1

Тема. Предел функции в точке. Дифференциальное исчисление функции одной независимой переменной. Приложение производной к исследованию функций.

ЗАДАНИЕ №1. Вычислить указанные пределы.

Вариант 1.1) ;2)

Вариант 2.1)

Вариант 3. .

Вариант 4.

Вариант 5. .

Вариант 6. .

Вариант 7. .

Вариант 8. .

Вариант 9. .

Вариант 10. .

Вариант 11. .

Вариант 12. .

Вариант 13. .

Вариант 14. .

Вариант 15. .

Вариант 16. .

Вариант 17. .

Вариант 18.

Вариант 19. 1)

Вариант 20.

Вариант 21. 1)

Вариант 22. 1)

Вариант 23.

Вариант 24.

Вариант 25.

Вариант 26.

Вариант 27.

Вариант 28.

Вариант 29.

Вариант 30.

ЗАДАНИЕ №2. Найти все точки разрыва функции y= f(x), если они существуют, и построить график функции.

Вариант 1. Вариант 2.

Вариант 3. Вариант 4.

Вариант 5. Вариант 6.

Вариант 7. Вариант 8.

Вариант 9. Вариант 10.

Вариант 11. Вариант 12.

Вариант 13. Вариант 14.

Вариант 15. Вариант 16.

Вариант 17. Вариант 18.

Вариант 19. Вариант 20.

Вариант 21. Вариант 22.

Вариант 23. Вариант 24.

Вариант 25. Вариант 27.

Вариант 26. Вариант 28.

Вариант 29. Вариант 30.

ЗАДАНИЕ №3. Найти производные указанных функций.

Вариант 1.

Вариант 2. 1)

Вариант 3. 1)

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10. 1)

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Вариант 16.

Вариант 17.

Вариант 18.

Вариант 19.

Вариант 20.

Вариант 21.

Вариант 22.

Вариант 23.

Вариант 24.

Вариант 25. .

Вариант 26.

Вариант 27.

Вариант 28.

Вариант 29.

Вариант 30.

ЗАДАНИЕ №4. Известен закон движения точки. Найти скорость движения и ускорение в момент времени .

Вариант 1. Вариант 2.

Вариант 3. Вариант 4.

Вариант 5. Вариант 6.

Вариант 7. Вариант 8.

Вариант 9. Вариант 10.

Вариант 11. Вариант 12.

Вариант 13. Вариант 14.

Вариант 15. Вариант 16.

Вариант 17. Вариант 18.

Вариант 19. Вариант 20.

Вариант 21. Вариант 22.

Вариант 23. Вариант 24.

Вариант 25. Вариант 26.

Вариант 27. Вариант 28.

Вариант 29. Вариант 30.

ЗАДАНИЕ №5. Найти пределы по правилу Лопиталя.

Вариант 1.

Вариант 2. 1)

Вариант 3.

Вариант 4. 1)

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10. 1)

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Вариант 16.

Вариант 17.

Вариант 18.

Вариант 19.

Вариант 20.

Вариант 21.

Вариант 22.

Вариант 23.

Вариант 24.

Вариант 25.

Вариант 26.

Вариант 27.

Вариант 28.

Вариант 29.

Вариант 30.

ЗАДАНИЕ №6.Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y=f(x) . Построить график функции.

Этимологический словарь.

• Асимптота( греч. слово asymptotes – “несовпадающий”).

• График (греч. слово graphikos- “начертанный”).

• Дифференциал (лат. слово differento- “разность”). Одно из основных понятий математического анализа. Этот термин встречается у немецкого ученого Г. Лейбница в 1675 г. (опубликовано в 1684г.).

• Касательная (лат.слово tangens – “касающийся”).

• Максимум (лат.слово maximum – “наибольшее”). Заимствовано во второй половине 19 в. из лат. яз.

• Минимум (лат.слово minimum – “наименьшее”) .

• Предел (лат.слово limes – “граница”). Одно из основных понятий математики, означающее, что некоторая переменная величина в рассматриваемом процессе ее изменения неограниченно приближается к определенному постоянному значению. Термин ввел Ньютон, а употребляемый ныне символ lim (3 первые буквы от limes) – франц.ученый С.Люилье (1786 г.). Выражение lim первым записал У.Гамильтон (1853 г.).

• Производная (франц.слово derivee). Ввел Ж.Лагранж в 1797 году.

• Функция (лат. слово functio – “исполнение”, “совершение”). Одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Термин впервые появляется в 1692 г. у немецк. ученого Г.Лейбница притом не в современном понимании. Т., близкий к современному встречается у швейцарского ученого И.Бернулли (1718 г.). Обозначение функции f(x) ввел российский ученый Л.Эйлер (1734 г.).

• Экстремум( лат.слово exstremum – “крайнее”). Это общее название максимума и минимума функции.