III способ.

Выберем за полюс точку Р. Тогда скорость произвольной точки А

(20)

Таким образом, скорости точек тела при его плоском движении распределяются так же, как при. вращательном движении тела вокруг неподвижной оси. Роль неподвижной оси играет мгновенная ось, проходящая, через МЦС перпендикулярно плоской фигуре. Следовательно, скорости всех точек плоской фигуры перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с МЦС, а модули скоростей пропорциональны расстояниям от точек до МЦС.

Определение угловой скорости плоской фигуры

Угловая скорость плоской фигуры определяется одним единственным способом: она равна скорости любой точки плоской фигуры, деленной на расстояние от этой точки до МЦС:

(21)

Частные случаи определения положения МЦС

1. МЦС находится в точке пересечения перпендикуляров к векторам скоростей двух точек плоской фигуры.

2. а)

2. б)

2. 

2. но не перпендикулярна

Согласно II способу определена скоростей точек

, , .

В данный момент времени скорости всех точек плоской фигуры геометрически равны. Имеем мгновенно поступательное распределение; скоростей. Угловая скорость равна нулю. МЦС находится в бесконечности.

ЛЕКЦИЯ 10

Ускорение точек при плоском движении.

Теорема.

Ускорение любой точки плоской фигуры геометрически складывается из ускорения полюса и осестремительного и вращательного ускорений во вращательном движении тела относительно полюса.

Доказательство:

В соответствии с формулой (18) имеем

Продифференцируем последующее равенство по времени:

С учетом (17) это выражение принимает вид:

(*)

Два последних слагаемых в равенстве (*) определяют ускорение точки В при закрепленной точке А . Поэтому их сумма дает ускорение точки В во вращательное движении относительно системы AX₂Y₂.

(**)

Вектор вращательного ускорения точки В во вращательном движении тела относительно полюса А направлен ВА и определяется формулой

Вектор осестремительного ускорения точки В во движении тела относительно полюса А имеет направление, совпадающее с ВА, т.е. от точки, В к полюсу А, и определяется формулой .

Модули этих составляющих будут

И, окончательно, равенство (*) принимает вид

(22)

Мгновенный Центр ускорений (мцу)

Мгновенным центром ускорений называется точка плоской фигуры, ускорение которой равно нуля.

Если в данный момент времени задано ускорение какой-то точки А – , причем и известны, то положение МЦУ определяется следующим образом.

Проведем из точки А полупрямую AN под углом к ускорению ,отсчитывая этот угол от в сторону вращения плоской фигуры, если вращение является ускоренным, и против вращения, если оно замедленное.

На полученной полупрямой отложим отрезок .

Полученная таким образом точка Q и есть МЦУ. Убедимся в том, что ускорение точки Q равно нулю.

Выбрав точку А за полюс, получим

Таким образом, составляет с направлением QA угол равный углу . Поэтому векторы и параллельны. Но в силу принятого правила отсчета угла ускорения и направлены противоположно.

Учитывая, что по модулю они равны, получим .Отсюда следует:

ФОРМУЛА

Таким образом, мы доказали, что точка Q – МЦУ.

Ускорение точек плоской фигуры, как ускорение во вращательном движении вокруг МЦУ

Примем точку Q за полос. На основании (22) имеем

(23)

Таким образом, ускорение любой точки плоской фигуры можно определить как ускорение этой точки при вращении вокруг неподвижной оси, проходящей через МЦУ.

Частные случаи определения положения МЦУ

1. Известна точка, ускорение которой равно нулю. Эта точка и является МЦУ.

Например, качение без скольжения колеса по прямолинейному рельсу с постоянной скоростью центра С.

Так как , то , то есть точка С есть МЦУ. Ускорение любой точки колеса, например точки В, определяется на основании (23)

; так как

Таким образом

Ускорение каждой точки колеса направлено к МЦУ.

2. Равномерное вращение: . В этом случае

Следовательно, ускорения всех точек направлены к МЦУ, причем расстояние от точки до МЦУ определяется по формуле

3. Момент, когда угловая скорость становится равной нулю:

В этом случае , то есть ускорения всех точек направлены перпендикулярно к отрезкам, соединявшим эти точки с МЦУ. Расстояние AQ вычисляется по формуле .

4. Момент времени, когда угловая скорость и угловое ускорение становятся равными нулю при на поступательном движении твердого тела .

В этом случае ускорение любой точки равно ускорению полоса, то есть ускорения всех точек плоской фигуры геометрически равны.