Ускорение точки.

1. При векторном способе задания движения

Предположим, что в момент времени скорость, точки – , а в момент – .

Предел приращения скорости к приращению времени , за которое произошло это приращение, при условии, что , называется ускорением точки в данный момент времени

(9)

Годографом скорости называется кривая, которую вычерчивает конец вектора скорости при движении точки, если вектор скорости проводится из одной и той же точки.

2. При: координатном способе задания движения

Вектор скорости точки

С учетом.(9)

(*)

На для вектора ускорения точки имеем

(**)

Сравнивая (*) и (**), получим

Модуль ускорения точки

Направление вектора ускорения определяется направляющими косинусами

3. При естественном способе задания движения

Пусть известна траектория точки. Возьмем две близкие на траектории точки М и М₁ . Проведем касательные к траектории в точках М и М₁ – и .

Вектор перенесем в точку М параллельно ему самому и проведем плоскость через и . Эта плоскость называется соприкасающейся плоскостью.

Плоскость, перпендикулярная ( ) касательной, называется нормальной плоскостью.

Плоскость нормальной и соприкасающейся плоскостям называется спрямляющей плоскостью.

Три взаимно перпендикулярных плоскости: нормальная, соприкасающаяся, спрямляющая образуют естественный трехгранник.

Линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей называется главной нормалью. Орт главной нормали – .

Линия пересечения нормальной и спрямляющей плоскостей называ­ется бинормалью траектории. Орт бинормали – .

Три взаимно перпендикулярные оси: касательная, направленная в сторону возрастания дуговой координаты, главная нормаль, направленная в сторону вогнутости траектории, бинормаль, направленная по отношению к и так же, как ось по отношению к осям , называются естественными осями.

Угол между касательными в двух ближайших точках траектории называется углом смежности, .

Кривизной кривой в точке М называется предел отношения угла смежности к абсолютному значению длины дуги ММ₁ между ближайшими точками траектории .

Радиусом кривизны кривой в точке М называется величина обратная кривизне: .

Получим формулу для вычисления ускорения точки М .

Продифференцируем по времени обе части этого равенства

(*)

Вычислим .

направлен параллельно вектору , то есть в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, проходящей через точку М и векторы . Таким образом, лежит в соприкасающейся плоскости, так как при плоскость МАВ совпадает с соприкасающейся плоскостью. Дифференцируем обе части. тождества: ; , то есть .

Следовательно, направлен по главной нормали траектории.

Определим . МАВ – равнобедренный.

Так как вектор равен , а направлен по главной нормали, то .Подставил в (*).

(**)

Ускорение точки равно геометрической сумме двух векторов: один, направленный по главной нормали, называется нормальным ускорением – , другой, направленный по касательной, называется касательным ускорением – . То есть

где , , , .

Некоторые частные случаи движения точки

1. Прямолинейное движение.

Так как при прямолинейном движении скорость изменяется только численно, то делаем вывод, что касательное ускорение характеризует изменение скорости по численной величине.

2. Равномерное криволинейное движение

Равномерным называется такое криволинейное движение, в кото­ром численная величина скорости остается все время постоянной:

, , .

Так как ускорение при равномерном движении появляется в результате изменения направления скорости, то нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению , , проинтегрируем ,

– закон равномерного криволинейного движения.

3. Равномерное прямолинейное движение

, . Следовательно, .

4. Равнопеременное криволинейное движение

Равнопеременным называется такое криволинейное движение, при котором касательное ускорение остается величиной постоянной: , , , проинтегрируем , , , но , .

Проинтегрируем , .

– закон равнопеременного криволинейного движения.

ЛЕКЦИЯ 7

Простейшие движения твёрдого тела.

1. Поступательное движение тела

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной самой себе.

Теорема

При поступательном движении твердого тела все точки тела описывают – одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени: одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Доказательство:

Возьмем две произвольные точки А и В, положения которых определяются радиусами-векторами и .

(*)

, так как тело абсолютно твердое, то есть траектория точки В получается из траектории точки А параллельным смещением всех точек на постоянный вектор АВ. Таким образом„траектории точек А и В одинаковы. Продифференцируем по времени равенство (*): . Продифференцируем , то есть ч.т.д.

При поступательном движении общую для всех точек тела скорость называют скоростью поступательного движения. Закон поступательного движения имеет вид: