Кинематика.

ЛЕКЦИЯ 5

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных точек и тел в пространстве с геометрической точки зрения, вне связи с силами, определяющими это движение.

Мы будем изучать простейшую форму движения – механическое движение, то есть происходящее во времени изменение положения одного тела относительно другого, с которым связана система координат, называемая системой отсчета.

Эта система может быть как движущейся, так и условно неподвижной.

Рассматривая движение, мы связываем изменение положения тела или точки с течением времени.

При изучении движения всегда устанавливаем начало отсчета времени .

Непрерывную кривую, которую описывает точка при своем движении, называют траекторией.

Если траектория – прямая линия, то движение называется прямолинейным, если кривая – криволинейным.

Способы задания движения.

Задать движение точки по отношению к избранной системе отсчета – это значит указать способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени. Существуют три способа задания движения:

1. Векторный способ

Положение точки в пространстве однозначно определяется заданием радиуса-вектора , проведенного из некоторого неподвижного центра 0 в данную точку М.

Для определения движения точки нужно знать, как изменяется с течением времени , то есть должна быть известна функция

(1)

Годографом какого-либо вектора называют кривую, которую вычерчивает конец этого вектора при изменении его аргумента (предполагается, что начало вектора находится в одной и той же точке).

Таким образом, годографом радиуса-вектора является траектория точки.

2. Координатный способ

Положение точки М в системе отсчета ОХУ определяется декартовыми координатами .

При движении точки М ее координаты изменяются с течением времени. Следовательно, координаты движущейся точки, являются функциями времени.

(2)

Эти уравнения называются уравнениями движения точки в декартовых координатах.

Пусть движение точки М в плоскости задано уравнениями

Из первого уравнения выразим время и подставим во второе: – уравнение траектории точки.

3. Естественный способ задания движения.

Этот способ применяется в том случае, если траектория точки заранее известна. Выберем на траектории неподвижную точку 0, которую назовём началом отсчёта дуговой координаты.

Положение точки М на траектории будем определять дуговой координатой , отложенной на траектории от начала отсчета 0. Расстояния, отложенные в одну сторону от точки 0, будем считать положительными, в другую – отрицательными, то есть установим направление отсчета дуговой координаты.

При движении точки М расстояние от этой точки до неподвижной точки 0 изменяется с течением времени:

(3)

– уравнение движения точки М.

Скорость точки

1. При векторном способе задания движения

Пусть в момент времени положение точки М определяется , а в момент – .

Вектор будем называть вектором перемещения точки за время . Отношение к называется средней скоростью за промежуток времени . (4)

Скоростью точки в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к промежутку времени, за которое при стремлении этого промежутка времени к нулю.

(5)

Скорость точки – это вектор, направленный по касательной к траектории в сторону движения.

2. При координатном способе задания движения.

Пусть движение точки задано координатным способом

Тогда для радиуса-вектора точки М можно записать

(*)

где – единичные орты осей соответственно.

Согласно (5) дифференцируем (*)

(**)

Для вектора справедливо соотношение:

(***)

где – проекции на оси .

Сравнивая (**) и (***), получим

(6)

Модуль скорости точки

(7)

Направление скорости определяется направляющими косинусами:

3. При естественном способе задания движения

Пусть в момент времени положение точки М определяется координатой , в момент – .

Согласно (5)

(*)

Вычислим модуль и определим направление :

Вектор направлен так же, как . При направление этого вектора стремится к направлению касательной к траектории в точке М. Обозначим единичный орт касательной через .

Таким образом , следовательно , так как .

И равенство (*) принимает вид:

(8)

Модуль , направление совпадает с .

ЛЕКЦИЯ 6