Пара сил. Основные понятия и определения.

Парой сил называют систему двух равных по величине, парал­лельных сил, направленных в противоположные стороны.

Расстояние между линиями действия сил пары называется плечом пары. Плоскость, в которой действуют силы пары, называется плоскостью действия пары. Совокупность нескольких пар, действующих на тело, называется системой пар.

Пара сил, действующая на тело, стремится сообщить ему некоторое вращение. Вращательный эффект пары характеризуется величиной, называемой моментом пары.

Моментом пары сил называется вектор, величина которого равна произведению силы пары на плечо пары и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары так, чтобы с направления этого вектора видеть стремление пары сил вращать тело против движения часовой стрелки.

(*)

Величина векторного момента пары сил численно выражается величиной площади  , построенного на силах пары.

Вектор-момент можно представить в виде:

(8)

Из (8) следует (*) и наоборот.

Теоремы теории пар сил.

Теорема 1.

Геометрическая сумма моментов сил, входящих в состав пары относительно любой точки, не зависит от выбора точки, и равна векторному моменту этой пары сил.

Доказательство:

Возьмем произвольный центр 0 и проведем из него радиусы-векторы точек А и В. Учитывая, что , можно записать

Так как не зависит от выбора точки 0, следовательно, геометрическая сумма также не зависит от выбора точки 0.

Теорема 2.

Вектор-момент пары – вектор свободный.

Доказательство:

Согласно теореме о моментах сил пары имеем: .Таким образом, вектор момент пары как геометрическая сумма двух связанных векторов и можно считать также связанным, приложенным в точке 0. Но центр 0 был выбран произвольно, поэтому и точка приложения вектора также является произвольной.

Следовательно, вектор-момент пары – вектор свободный.

На основании этой теоремы и известных из векторной алгебры признаков свободных векторов, можно записать следующие свойства пар сил:

1. у пары сил можно произвольным образом менять модули сил и плечо, оставляя неизменным ее момент;

2. пару сил можно перемещать как угодно в ее плоскости;

3. пару сил можно переносить в любую плоскость параллельную плоскости этой пары.

Из доказанной теоремы вытекают также известные условия эквивалентности пар:

1. п ары сил в пространстве эквивалентны, если их векторы-моменты геометрически равны между собой;

2. п ары сил на плоскости эквивалентны, если их моменты численно равны и одинаковы по знаку.

Теорема 3.

Две пары сил, действующие на одно и тоже тело и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен геометрической сумме моментов данных пар сил*

Доказательство:

Пусть имеются две пары сил и , лежащие в пересекающихся плоскостях. Эти нары сил можно получить из пар сил, как угодно расположенных в пересекающихся плоскостях путем параллельного переноса, поворота в плоскости действия и одновременного изменения плеч и сил пар. Согласно аксиоме 3 имеем

Силы и составляют пару сил, так как они приложены в разных точках и как равнодействующие равных, но противоположно направленных сил.

Вычислим момент пары

где – момент пары , – момент пары , т.е. .

Момент эквивалентной пары сил равен геометрической сумме

векторных моментов заданных пар.

Из теоремы 3 вытекает правила сложения пар сил:

1. Ч тобы сложить две пары сил, лежащие в пересекающихся плоскостях, надо сложить их векторные моменты геометрически

.

2. Чтобы сложить пары сил, действующие на твердое тело и расположенные в одной плоскости, необходимо алгебраически сложить моменты составляющих пар сил .

Условия равновесия пар сил.

Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то согласно теореме 3 эти пары сил, можно заменить одной эквивалентной парой, момент которой

(*)

Таким образом, момент эквивалентной пары – есть замыкающая сторона векторного многоугольника, построенного на векторных моментах заданных пар сил.

Для равновесия сил пар сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы величина момента эквивалентной пары равнялась 0, или чтобы векторный многоугольник был замкнут.

Модуль момента эквивалентной пары

где (**)

Но ,

если или с учётом (**)

(9)

Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций векторов моментов пар сил на координатные оси равнялись нулю.

Условия равновесия (9) упрощаются, если все пары лежат в одной плоскости. В этом случае все моменты перпендикулярны этой плоскости, поэтому (*) достаточно спроектировать только на одну ось, например ось , перпендикулярную плоскости пар.

Тогда из (*) получим:

или

(10)

ЛЕКЦИЯ 3

Проекцией силы на плоскость называется вектор , заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость.

По модулю где – угол между направлением силы и ее проекции

Момент силы относительно оси.

Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость перпендикулярную оси относительно точки пересечения оси и плоскости.

Момент будем считать положительным, если с положительного конца оси поворот, который сила стремиться совершить, виден происходящим против хода часовой стрелки. Момент силы относительно оси равен нулю, если:

1. сила параллельна оси;

2. линия действия силы пересекает ось

Зависимость между моментами силы относительно точки и оси, проходящей через эту точку.

Согласно определению, имеем

Для момента силы относительно оси можно записать

– проекция на плоскость перпендикулярную оси .

Следовательно . Умножим обе части записанного равенства на 2. или

(11)

То есть, проекция вектора момента силы относительно центра на ось, проходящую через центр равна моменту силы относительной этой оси.

Аналитическое выражение моментов силы относительно оси

(*)

Для вектора момента силы относительно центра с учетом (II) можно записать:

(**)

Левые части (*) и (**) равны, приравниваем правые:

где – координаты точки приложения силы.

Главный вектор системы сил.

Главным вектором системы сил называется геометрическая сумма сил системы.

Главный момент пространственной системы сил относительно центра и оси.

Рассмотрим систему сил ( ), как угодно ориентированных в пространстве. Вычислим моменты этих сил относительно точки 0.

Векторы моменты . все приложены в точке 0. Построим многоугольник векторов моментов.

Замыкающая сторона этого многоугольника – главный момент относительно неподвижного центра

(12)

Таким образом, главным моментом пространственной системы силы относительно центра называется геометрическая сумма моментов сил системы относительно того же центра.

Главным моментом пространственной системы сил относительно неподвижной оси называется алгебраическая сумма моментов сил системы относительно той же оси

Приведение силы к заданному центру (метод Пуансо)

Приведём сиу к центру 0. приложим в точке 0 систему сил , причём выбираем

Силы образуют пару, момент которой

При приведении силы к заданному центру получаем в этом центре силу, геометрически равную заданной и пару сил, момент которой равен моменту силы относительно центра приведения.

Приведение пространственной системы сил к заданному центру,

Теорема.

При приведении пространственной системы сил к центру всегда получим силу, называемую главным вектором системы сил, приложенную в центре приведения, и пару сил, момент которой равен главному моменту системы сил относительно центра приведения.

Доказательство:

Пусть имеем систему сил, как угодно ориентированных в пространстве (ограничимся тремя силами).

Каждую силу приводим к центру 0 на основании метода Пуансо. В точке 0 получим систему сходящихся сил . Геометрическая сумма этих сил есть главный вектор:

Векторы моменты также образуют систему сходящихся векторов. Их геометрическая сумма есть главный момент системы сил относительно центра.

Вычисление главного вектора и главного момента пространственной системы сил,

Главный вектор

Спроектируем обе части этого векторного соотношения на оси .

(13)

Тогда модуль равен

(14)

Направление определяется направляющими косинусами:

; ; .

Главный момент . Спроектируем данное векторное соотношение на оси :

(15)

Модуль главного момента равен

(16)

Направление определяем направляющими косинусами:

; ; .

Условия и уравнения равновесия пространственной системы сил

Теорема.

Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент равнялись нулю.

Доказательство:

Достаточность.

При система сходящихся сил, приложенных в центре приведения 0, эквивалентна нулю, а при – система пар сил эквивалентна нулю. Следовательно, исходная система сил эквивалентна нулю.

Необходимость.

Пусть данная система сил эквивалентна нулю. Тогда необходимо, чтобы , .

Если какое-либо из этих условий не выполняется, то система сил приводится либо к , либо к паре, момент которой , и следовательно, не является уравновешенной, что противоречит исходной предпосылке.

Получим уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил, если , , согласно (14) и (16) :

Или с учётом (13) и (15), имеем уравнения равновесия пространственной системы сил:

(17)

ЛЕКЦИЯ 4