Определение ускорения точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Мы доказали, что

(*)

Продифференцируем по времени обе части равенства (*):

(**)

Но ,

Подставим в (**)

(***)

Первое слагаемое правой части равенства (***) называется касательным ускорением точки М и обозначается: .

Модуль

Направлен вектор в соответствии с правилом векторного произведения, то есть по касательной к траектории в сторону .

Второе слагаемое правой части равенства (***) называется нормальным ускорением точки и обозначается: .

Модуль нормального ускорения

Направлен вектор нормального ускорения всегда к оси вращения. То есть равенство (***) принимает вид:

ЛЕКЦИЯ 8

Сложное движение точки.

Сложным движением точки называется движение точки относительно двух систем отсчета, одна из которых неподвижна, другая произвольно перемещается относительно неподвижной системы координат.

Движение точки М относительно неподвижной системы координат ( ) называется абсолютным. Скорость и ускорение в этом движении называются абсолютной скоростью и абсолютным ускорением, обозначаются .

Движение точки М относительно подвижной системы координат ( ) называется относительным. Скорость и ускорение в этом движении называются относительной скоростью и ускорением, обозначаются . Подвижная система координат и все, что с ней неразрывно связано, называется переносной средой. Движение точки М вместе с подвижной системой координат относительно неподвижной называется переносным движением.

Скорость (ускорение) той точки переносной среды, с которой в данный момент времени совпадает наша точка, называется переносной скоростью (ускорением), обозначаются .

Теорема.

Абсолютная производная вектора, определенного в подвижной системе координат, равна геометрической сумме относительной производной этого вектора и векторного произведения угловой скорости подвижных осей координат на этот вектор.

Доказательство:

Пусть вектор определен в подвижной системе координат, – единичные векторы подвижных осей координат, которые вследствие движения подвижной системы координат меняют свое направление.

Вектор можно представить:

здесь – проекции вектора на оси подвижной системы координат.

Продифференцируем обе части записанного равенства

(*)

Первые три слагаемых правой части (*) называются относительной производной вектора и обозначаются:

(**)

Для преобразования трех последних слагаемых (*) воспользуемся формулой Эйлера: , то есть

(***)

С учетом (**) и (***) равенство (*) принимает вид:

(10)

Теорема сложения скоростей

Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

Доказательство:

Пусть определяет положение точки М по отношению к , определяет положение точки С (начало подвижной системы координат) относительно определяет положение точки М относительно

Продифференцируем:

согласно (10) имеет вид: .

С учётом всего этого (*) принимает вид:

– относительная скорость точки М. То есть

(**)

Для определения переносной скорости точка М следует закре­пить точку в подвижной системе координат, то есть положить в (**) . Тогда из (**) имеем .

И равенство (* *) принимает вид:

(11)

Модуль абсолютной скорости

(12)

Теорема сложения ускорений. (Теорема Кориолиса)

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумма относительного ускорения, переносного и ускорения Кориолиса,

Доказательство:

Согласно теореме сложения скоростей

Продифференцируем:

(*)

Введем обозначения:

Производные . преобразуем согласно (10)

Подставим в (*)

(**)

Чтобы вычислить переносное ускорение точки М, следует остановить точку в подвижной системе координат, то есть в (**),положить . Тогда из (**) имеем.

(***)

С учетом (***) равенство (**) принимает вид:

(****)

Удвоенное векторное произведение угловой скорости подвижных осей координат на вектор относительной скорости называется ускорением Кориолиса и обозначается;

(13)

Равенство (****) принимав вид:

(14)

В общем случае, относительное движение точки есть движение криволинейное, то есть:

.

Переносное движение в общем случае – вращательное

.

То есть (14) принимает вид:

(15)

– развернутая форма теоремы Кориолиса. Спроектируем (14) на оси :

Ускорение Кориолиса

Согласно (13) имеем

(16)

Ускорение Кориолиса равно нулю, если:

1. – переносное движение поступательное;

2. – в те моменты времени, когда относительная скорость обращаете в нуль;

3. – вектор относительной скорости параллелен вектору угловой скорости переносного вращения.

Направление определяется по правилу векторного произведения. Кроме того, направление определяется по правилу Н.Е.Жуковского.

Чтобы определить направление вектора ускорения Кориолиса, следует вектор относительной скорости спроектировать на плоскость перпендикулярную вектору угловой скорости переносного вращения, полученный при этом вектор следует повернуть в этой плоскости на угол 90° в сторону

Причины появления ускорения Кориолиса

Причиной появления ускорения Кориолиса является взаимное влияние относительного движения на переносное и переносного на относительное. В результате этого влияния переносная скорость меняет модуль и направление, а вектор относительной скорости – направление.

Покажем это на следующем примере.

Пусть по радиусу диска, вращающегося вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска, перемещается равномерно человек с относительной скоростью . Для какого-то фиксированного момента времени , то есть переносная скорость человека – скорость той точки диска, где в данный момент времени находится человек.

Пусть в момент времени человек занимает положение М₁. Очевидно, что за время относительная скорость изменяется по направлению от до вследствие вращательного переносного движения. Вследствие относительного движения человека из точки М в точку М₁ модуль переносной скорости изменился: .

Указанные изменения вызывают' появление Кориолисова ускорения.

ЛЕКЦИЯ 9