Вращательное движение твердого тела
Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором остаются неподвижными все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения.
При этом движении все остальные точки тела движутся в плоскостях оси вращения и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.
Для осуществления этого движения следует неподвижно закрепить две произвольные точки тела А и В.
Тогда прямая АВ будет осью вращения тела и все точки, лежащие на этой прямой, во все время движения будут оставаться неподвижными.
Определим
положение вращающегося тела следующим
образом: зададимся направлением оси
вращения
.
Проведем через эту ось две полуплоскости:
неподвижную Р и подвижную Q,
связанную с твердым телом и вращающуюся
вместе с ним. Двухгранный угол
между этими полуплоскостями, отсчитываемый
от неподвижной полуплоскости Р к
подвижной Q,
называется углом поворота тела. Угол
поворота будем считать положительным,
если, смотря навстречу оси вращения,
можно увидеть его отложенным против
движения часовой стрелки.
Численное
значение угла поворота выражается в
радианах:
.
Угол поворота часто выражают числом
оборотов N. Тогда угол
в радианах, соответствующий N
оборотам, определяется:
.
Угол
,
определяя положение подвижной
полуплоскости, определяет так же
положение всего вращающегося тела.
Поэтому его можно рассматривать как
угловую координату тела. При вращении
тела
изменяется от времени:
– уравнение вращательного движения
твердого тела.
Главными
кинематическими характеристиками
вращательного движения твердого тела
в целом являются угловая скорость –
и угловое ускорение –
.
Пусть
в момент времени
движение подвижной полуплоскости
определяется углом
,
а в момент
– углом
.
Предел отношения приращения угла к приращению времени при стремлении последнего к нулю, называется угловой скоростью тела в данный момент времени:
.
Размерность
–
радиан, деленный на секунду:
В
технике часто при равномерном вращении
тела пользуются числом оборотов в минуту
–
.
Зависимость между и имеет вид:
.
Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением
, 
.
Весьма полезным является введение в рассмотрение вектора угловой скорости и углового ускорения.
Вектором
угловой скорости будем называть вектор,
модуль которого равен абсолютному
значению производной угла поворота
тела по времени, направленный вдоль оси
вращения в ту сторону, откуда вращение
тела видно происходящим против хода
часовой стрелки
,
здесь
– единичный орт оси
.
Вектором
углового ускорения будем называть
вектор равный производной по времени
от вектора угловой скорости:
.
Вектор
,
как и вектор
,
направлен вдоль оси вращения твердого
тела.
Уравнение равномерного вращения тела
Вращение
тела с постоянной угловой скоростью
называется равномерным.
,
проинтегрируем:
,
– уравнение
равномерного движения тела.
Уравнение равнопеременного вращения тела
Вращение тела, при котором угловое ускорение постоянно, называется равнопеременным вращением.
Если абсолютная величина увеличивается, то вращение называется равноускоренным, если уменьшается – равнозамедленным.
Разделим
переменные:
проинтегрируем
,
,
,
разделим переменные:
.
Проинтегрируем:
,
,
.
В
общем случае:
– уравнение равнопеременного движения
тела. Знак "+" соответствует
ускоренному вращению, знак "–" –
замедленному.
Скорость точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Скорость любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,, называется линейной.
Так как движение точки в этом случае движения тела задано естественным способом, то величина линейной скорости будет:
Так
как криволинейная координата
,
следовательно,
.
Линейная скорость точки вращающегося тела равна произведению угловой скорости тела на расстояние от точки до оси вращения. Направлен вектор скорости точки по касательной к окружности в сторону вращения.
То
есть модуль скорости равен модулю
векторного произведения
.
Направление вектора скорости совпадает с направлением векторного произведения .
То
есть, окончательно,
–
формула Эйлера.