10. Соотношение неопределенностей. Уравнение Шредингера.

1. Для координаты и импульса частицы:

,

где ∆р_х – неопределенность проекции импульса частицы на ось х; ∆х – неопределенность ее координаты.

2. Для энергии и времени:

,

где ∆Е – неопределенность энергии данного квантового состояния; ∆t – время пребывания системы в этом состоянии.

Простейшие случаи движения микрочастиц.

Одномерное временное уравнение Шредингера

ih(∂ψ/∂t) = h²/2m*(∂²ψ/ ∂x²),

г де i – минимальная единица (√-1 ); m – масса частицы ψ (х,t) – волновая функция, описывающая состояние частицы.

Волновая функция, описывающая одновременное движение сво-бодной частицы:

,

где А – амплитуда волны де Бройля; р – импульс частицы; Е – энергия частицы.

Одновременное уравнение Шредингера для стационарных состоя-ний:

,

где Е – полная энергия частицы; U(x) – потенциальная энергия; ψ(x) – координатная (амплитудная) часть волновой функции.

Для случаев трех измерений ψ (x,y,z) уравнение Шредингера запи-сывается в виде:

∂²ψ/∂x²+∂²ψ/∂y²+∂²ψ/∂z²+2m/h2 *(E-U) ψ = 0,

или в операторной форме

где ∆ = ∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z² – оператор Лапласа.

При решении уравнения Шредингера следует иметь в виду стандарт-ные условия, которые должна удовлетворять новая функция: конечность ( во всем пространстве), однозначность, непрерывность той самой ψ – функции и её первой производной.

Вероятность dW обнаружить частицу в интеграле от х до х+dx (в одномерном случае) выражается формулой:

dW = |ψ(х)|²dx ,

где |ψ(х)|² – плотность вероятности.

Вероятность W обнаружить частицу в интервале от x₁ до x₂ , находится интегрированием dW в указанных пределах

2

Собственное значение энергии E_n частицы, находящейся на n – ом энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном прямо-угольном потенциальном ящике, определяется формулой:

n² (n = 1,2,3,…),

где l – ширина потенциального ящика.

Соответствующая этой энергии собственная волновая функция имеет вид:

.

Пример решения задачи.

Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной I. Вычислить вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии (n = 2), будет обнаружен в средней трети ящика.

Вероятность W обнаружить частицу в интервале x₁ < x < x₂ определяется равенством

Где - нормированная собственная волновая функция, отвечающая данному состоянию.

Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике имеет вид

Подставим в подынтегральное выражения формулы и вынося постоянные величины за знак интеграла, получим

Согласно условию задачи, x₁=(1/3)l и х₂=(2/3)l. Подставим эти пределы интегрирования в формулу, произведя вычисления получим

W=0,195

Ответ: W=0,195.