- •Оглавление
- •Глава 1. Теория вероятностей 10
- •Глава 2. Математическая статистика 44
- •Глава 3. Случайные процессы 67
- •Введение
- •Глава 1. Теория вероятностей
- •1.1. Случайные события Основные понятия теории вероятностей
- •Основные определения
- •Операции над случайными событиями
- •Элементы комбинаторики
- •Классическое определение вероятности
- •Свойства вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема сложения вероятностей
- •Теорема умножения вероятностей Условная вероятность
- •Обобщенная теорема умножения вероятностей
- •Независимость случайных событий
- •Вопросы для самопроверки
- •1.3. Формула Бернулли. Формула полной вероятности Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •Формула полной вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.4. Дискретные случайные величины
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •Биномиально распределенные случайные величины
- •Математическое ожидание случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайной величины
- •Свойства дисперсии
- •Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Вопросы для самопроверки
- •1.5. Непрерывные случайные величины
- •Плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •Cвойства функции плотности вероятности
- •Нормальное распределение
- •Правило трех сигм
- •Независимость случайных величин. Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Следствия из закона больших чисел
- •Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Математическая статистика
- •2.1. Основные понятия математической статистики
- •Приемы обработки выборок
- •Построение гистограммы относительных частот
- •Точечные оценки параметров генеральной совокупности
- •Дополнительные свойства точечных оценок
- •Проверка взаимозависимости генеральных совокупностей. Выборочный коэффициент корреляции
- •Интервальные оценки параметров генеральной совокупности
- •Вопросы для самопроверки
- •2.2. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Этапы проверки статистических гипотез
- •Проверка гипотез о параметрах генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Случайные процессы
- •3.1. Элементы теории случайных процессов Определение случайного процесса
- •Основные характеристики случайных процессов
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайного процесса и ее свойства
- •Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства
- •Нормированная корреляционная функция
- •Взаимная корреляционная функция и ее свойства
- •Нормированная взаимная корреляционная функция
- •Производная и интеграл от случайной функции
- •Интеграл от случайной функции и его характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Заключение
- •Библиографический список
Свойства коэффициента корреляции
1. –1 ≤ ≤ 1, (| | ≤ 1).
2. Если случайные величины Х и Y являются независимыми (не влияют друг на друга) то rxy = 0. В практически важных случаях верно и обратное утверждение.
3. Если rxy = +1 (–1), то между Х и Y существует сильная (линейная) зависимость по типу Х = а Y + в. Если а > 0, то зависимость прямая (положительная корреляция), а если а < 0, то имеет место обратная зависимость.
Задача. Двумерная случайная величина (Х, Y) задана своим законом распределения:
Y Х |
0 |
–1 |
3 |
(3, 0) 1/2 |
(3, –1) 1/12 |
2 |
(2, 0) 1/12 |
(2, –1) 1/3 |
циент корреляции данной
системы случайных вели-
чин.
Решение. Составим закон распределения компонент Х и Y, пользуясь формулами (4) и (5).
Х
3
2
р
7/12
5/12 |
Y
0
–1
р
7/12
5/12 |
M(X) = 3∙7/12+2∙5/12 = 31/12, M(Y) = 0∙7/12+(–1)∙5/12 = –5/12.
D(X) = 9∙7/12+4∙5/12 – 961/144 = (996 – 961)/144 = 35/144,
D(Y) = 0∙7/12+1∙5/12 – 25/144 = (60 – 25)/144 = 35/144.
M(X∙Y) = 3∙0∙1/2+3∙(–1)∙1/12+2∙0∙1/12+2∙(–1)∙1/3 = –1/4–2/3 =
= –(3+8)/12 = –11/12.
По формуле (6) окончательно получаем:
= (М(Х∙Y)–М(Х)∙М(Y))/ = (–11/12+ (5/12) ∙(31/12))/ = (155/144–11/12)∙144/35 =
= (23/144)∙(144/35) = 23/35 ~ 0.66.
Предельные теоремы теории вероятностей
Сходимость по вероятности. Пусть имеется последовательность случайных величин Х1, Х2, …, Хn, … . Говорят, что данная последовательность сходится по вероятности к случайной величине Y (обозначается ), если при любом, сколь угодно малом .
Лемма Чебышева. Для любой случайной величины Х справедливо неравенство
Р(| Х –М(Х) | > ) D(X)/ ,
дающее количественную оценку вероятности отклонения случайной величины от своего математического ожидания.
Закон больших чисел в форме Чебышева
Пусть имеется последовательность попарно независимых случайных величин Х1, Х2, …, Хn, … с ограниченными дисперсиями (D(Хi) C равномерно по i). Тогда среднее арифметическое этих случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:
и, следовательно, асимптотически уже не является случайной величиной.
Следствия из закона больших чисел
Следствие 1. Рассмотрим ситуацию, когда все Хi равны друг другу (Хi = Хj). Из закона больших чисел следует, что среднее арифметическое большого количества значений случайной величины (так называемое осреднение) сходится по вероятности к математическому ожиданию: .
Следствие 2. Теорема Бернулли. Данная теорема позволяет на основе наблюдений над случайной величиной приближенно определить вероятность случайного события А. Рассмотрим цепочку n одинаковых опытов, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью р. Введем биномиальную случайную величину Sn, как количество появлений события А в этой цепочке испытаний (или как число опытов, в которых событие А произошло). Sn, называемую еще частотой, можно рассматривать как сумму большого числа одинаковых слагаемых Sni, индикаторов факта появления события А в i-м испытании. Очевидно, что М(Sni) = р, так как
Sni |
0 |
1 |
p |
|
|
Случайная величина называется относительной частотой, для нее из закона больших чисел следует:
.
Значит приближенное значение вероятности случайного события А можно найти, если путем наблюдений определить относительную частоту появления этого события в достаточно длинной цепочке испытаний.