Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона

Нередко в приложениях математической статистики фигурируют задачи, в которых закон распределения генеральной совокупности заранее неизвестен, но есть основания предположить, выдвинуть гипотезу, что он имеет определённый вид. Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения производится так же, как и проверка гипотезы о параметрах распределения, т.е. при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия (или критерия χ²) К. Пирсона. С этой целью сравниваются эмпирические n_i (наблюдаемые) и теоретические n'_i (вычисленные в предположении о правильности гипотезы) частоты.

Приступим к проверке нулевой гипотезы: генеральная совокупность распределена нормально. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы применяем случайную величину

. (12)

Ясно, что чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия (12), следовательно, он в некоторой степени характеризует близость эмпирического и теоретического распределений. Доказано, что случайная величина (12) распределена по закону χ² с k степенями свободы. Число степеней свободы находят по формуле k = m – 1 – r, где m – число интервалов в группированном статистическом ряде, а r – число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки. Если предполагаемое распределение – нормальное, то оценивают два параметра (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение), поэтому r = 2. Основным для проверки гипотезы на уровне значимости α служит соотношение:

Р(χ² >χ²_кр(α; k)) = α.

Если гипотеза Н₀ несправедлива, то критерий принимает большое положительное значение, поэтому строим правостороннюю критическую область, определяемую неравенством χ² >χ²_кр(α; k).

Таблица расчета χ²_набл имеет следующий вид (в качестве примера взят случай выборки, на основе которой построен группированный статистический ряд, m = 5):

i
1	– , 4.75	4	–	–0.5	0.08	4	0
2	4.75, 6.05	11	–1.4	–0.419	0.2	10	0.1
3	6.05, 7.35	15	–0.57	–0.216	0.38	19	0.84
4	7.35, 8.65	13	0.3	0.12	0.26	13	0
5	8.65,	7	1.17	0.38	0.12	6	0.15
–	–	–		0.5	–	–	–
		50	–	–	1	50	1.09

Таким образом, наблюдаемое значение критерия  = 1.09. Теперь по таблице критических точек распределения χ², по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = 2 находим критическую точку χ²_кр(α; k). Если χ²_набл < χ²_кр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если χ²_набл > χ²_кр – нулевая гипотеза отвергается, а принимается конкурирующая гипотеза, состоящая в том, что исследуемая генеральная совокупность имеет другой (отличный от нормального) закон распределения.