- •Оглавление
- •Глава 1. Теория вероятностей 10
- •Глава 2. Математическая статистика 44
- •Глава 3. Случайные процессы 67
- •Введение
- •Глава 1. Теория вероятностей
- •1.1. Случайные события Основные понятия теории вероятностей
- •Основные определения
- •Операции над случайными событиями
- •Элементы комбинаторики
- •Классическое определение вероятности
- •Свойства вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема сложения вероятностей
- •Теорема умножения вероятностей Условная вероятность
- •Обобщенная теорема умножения вероятностей
- •Независимость случайных событий
- •Вопросы для самопроверки
- •1.3. Формула Бернулли. Формула полной вероятности Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •Формула полной вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.4. Дискретные случайные величины
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •Биномиально распределенные случайные величины
- •Математическое ожидание случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайной величины
- •Свойства дисперсии
- •Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Вопросы для самопроверки
- •1.5. Непрерывные случайные величины
- •Плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •Cвойства функции плотности вероятности
- •Нормальное распределение
- •Правило трех сигм
- •Независимость случайных величин. Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Следствия из закона больших чисел
- •Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Математическая статистика
- •2.1. Основные понятия математической статистики
- •Приемы обработки выборок
- •Построение гистограммы относительных частот
- •Точечные оценки параметров генеральной совокупности
- •Дополнительные свойства точечных оценок
- •Проверка взаимозависимости генеральных совокупностей. Выборочный коэффициент корреляции
- •Интервальные оценки параметров генеральной совокупности
- •Вопросы для самопроверки
- •2.2. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Этапы проверки статистических гипотез
- •Проверка гипотез о параметрах генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Случайные процессы
- •3.1. Элементы теории случайных процессов Определение случайного процесса
- •Основные характеристики случайных процессов
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайного процесса и ее свойства
- •Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства
- •Нормированная корреляционная функция
- •Взаимная корреляционная функция и ее свойства
- •Нормированная взаимная корреляционная функция
- •Производная и интеграл от случайной функции
- •Интеграл от случайной функции и его характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Заключение
- •Библиографический список
Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)
Пусть Х1, Х2, …, Хn, … – последовательность непрерывных случайных величин, равных друг другу (Хi = Хj) с характеристиками М(Х) = а, D(Х) = (А.М. Ляпунов дал некоторые, довольно общие условия, при которых Хi могут быть и не равны друг другу). Тогда сумма этих случайных величин асимптотически нормальна:
если , то .
Эта теорема еще раз показывает важность для практических приложений изучения нормально распределенных случайных величин.
Следствие. На основе центральной предельной теоремы строится приближенный алгоритм вычисления вероятности попадания в некоторый интервал ( , ) для биномиально распределенной случайной величины Sn при больших n. Здесь , причем М(Sni) = р, а = D(Sni) = р(1 – р).
Значит , откуда
Р({α < Sn < }) ~ Ф((β – np) / ) – Ф((α – np) / ).
Вопросы для самопроверки
Какая случайная величина называется непрерывной случайной величиной?
Как связаны между собой функция распределения и функция плотности вероятности?
Сформулировать свойства плотности вероятности.
Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины?
Какая случайная величина называется распределенной по нормальному закону?
Дать определение интегральной функции Лапласа. Указать ее свойства и способ практического применения.
Дать определение независимости случайных величин.
Как определяется коэффициент корреляции. Объяснить его теоретико-вероятностный смысл. Указать свойства коэффициента корреляции.
Что называется законом распределения двумерной случайной величины?
Глава 2. Математическая статистика
2.1. Основные понятия математической статистики
В теории вероятностей основная задача заключалась в том, что по известной функции распределения F(x) и функции плотности вероятности p(x) требовалось вычислить вероятность попадания значений случайной величины на заданный интервал : Р(Х ). Однако на практике для реальных случайных величин эти функции не всегда известны. Основными задачами математической статистики, в частности, являются:
1. Собрать и сгруппировать данные наблюдений (измерений), проведенных над случайной величиной Х.
2. По этим данным приближенно определить функцию распределения F(x), функцию плотности вероятности p(x) и другие важнейшие характеристики исследуемой случайной величины Х. При этом необходимо дать оценку достоверности и возможной погрешности полученных результатов.
Соответствие терминологии в теории вероятностей и математической статистике.
Теория вероятностей |
Математическая статистика |
Приближенные аналоги в математической статистике |
Х – случайная величина |
Х – генеральная совокупность |
– |
М(Х) – математическое ожидание |
– генеральное среднее |
– выборочное среднее |
D(Х) – дисперсия |
Dг – генеральная дисперсия |
Dв – выборочная дисперсия |
Р – вероятность |
то же |
W – относительная частота |
F(x) – функция распределения |
то же |
F*(x) – эмпирическая функция распределения |
p(x) – плотность вероятности |
то же |
– гистограмма относительных частот |
– коэффициент корреляции |
то же |
– выборочный коэффициент корреляции |
Выборкой (х1, х2, …, хn) объема n называется результат n наблюдений (измерений), проведенных над исследуемой случайной величиной (генеральной совокупностью) Х.
К выборкам в математической статистике предъявляется требование репрезентативности (представительности). Это означает, что
– должен быть обеспечен полностью случайный выбор n значений;
– выборка должна иметь достаточно большой объем (желательно, n > 40–50).