Биномиально распределенные случайные величины

Рассмотрим ситуацию повторения некоторых фиксированных испытаний. В каждом из этих n одинаковых опытов случайное событие А может произойти с вероятностью р, а может и не произойти с вероятностью 1–р. Введем случайную величину S_n как количество появлений события А в этой цепочке испытаний (или как число опытов, в которых событие А произошло). Такая дискретная случайная величина называется распределенной по биномиальному закону или биномиальной случайной величиной. Легко составить ее закон распределения:

Sn	0	1	2	…i…	n
p

Здесь используется формула Бернулли: P(S_n = i) = P_n(i) = =  .

Задача. В урне 2 белых и 4 черных шара. Выбираем наугад, с возвращением 2 шара. Требуется составить закон распределения случайной величины Y – количества белых шаров в этой выборке.

Решение. Очевидно, что Y = S₂ биномиальная случайная величина, при этом р = 2/6 = 1/3, 1– p = 2/3, следовательно,

Y = S2	0	1	2
p	4/9	4/9	1/9

Математическое ожидание случайной величины

Математическое ожидание случайной величины имеет смысл среднего значения, вокруг которого группируются все значения этой случайной величины, которые она может принимать. В механике – это центр тяжести системы точек. Если систему подпереть в этой точке, то она будет находиться в равновесии. Нередко это значение является также и наиболее вероятным, самым ожидаемым. Представим геометрический смысл математического ожидания на схеме:

Для дискретной случайной величины Х математическое ожидание определяется и вычисляется по формуле:

М(Х) = х₁ р₁ + х₂ р₂ + ... + х_n р_n =  . (2)

Замечание. Само математическое ожидание не является случайной величиной. Для вычисления математического ожидания достаточно знать закон распределения случайной величины.

Пример 1. Найдем математическое ожидание случайной величины Х – значения грани, выпавшей на кубике. Используя построенный ранее закон распределения этой случайной величины, получаем:

М(Х) = 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 = 21/6 = 3.5.

Подтвержден геометрический смысл математического ожидания.

Пример 2. Найдем математическое ожидание случайной величины Z, возникающей при подбрасывании двух монет, равной числу выпавших гербов.

М(Z) = 0∙1/4 + 1∙1/2 + 2∙1/4 = 1.

Здесь также подтверждается геометрический смысл математического ожидания.

Свойства математического ожидания

1. М(const) = const.

2. М(СХ) = СМ(Х).

3. М(Х + Y) = М(Х) + М(Y), для любых двух случайных величин Х и Y.

4. Пусть случайные величины Х и Y независимы. Тогда М(Х∙ Y) = М(Х) ∙ М(Y).

Пояснение. Случайные величины Х и Y – называются независимыми тогда и только тогда, когда случайные события {Х = х_i} и {Y = y_j} при любых i и j являются независимыми. Согласно ранее данному определению, следует, что при любых i и j вероятность события {Х = х_i} не зависит от того, произошло ли событие {Y = y_j} и наоборот. Другими словами, независимые случайные величины Х и Y не могут влиять друг на друга, взаимовлияние отсутствует.

Пример. Пусть требуется найти математическое ожидание суммы значений, выпавших на двух одновременно подброшенных кубиках.

Ответ получаем без вычисления закона распределения суммы двух случайных величин: М(Х+ Y) = 7 на основании свойства 3.

Математическое ожидание биномиальной случайной величины так же легко получить, пользуясь свойством 3:

M (S_n) = n ∙ p.