- •Оглавление
- •Глава 1. Теория вероятностей 10
- •Глава 2. Математическая статистика 44
- •Глава 3. Случайные процессы 67
- •Введение
- •Глава 1. Теория вероятностей
- •1.1. Случайные события Основные понятия теории вероятностей
- •Основные определения
- •Операции над случайными событиями
- •Элементы комбинаторики
- •Классическое определение вероятности
- •Свойства вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема сложения вероятностей
- •Теорема умножения вероятностей Условная вероятность
- •Обобщенная теорема умножения вероятностей
- •Независимость случайных событий
- •Вопросы для самопроверки
- •1.3. Формула Бернулли. Формула полной вероятности Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •Формула полной вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.4. Дискретные случайные величины
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •Биномиально распределенные случайные величины
- •Математическое ожидание случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайной величины
- •Свойства дисперсии
- •Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Вопросы для самопроверки
- •1.5. Непрерывные случайные величины
- •Плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •Cвойства функции плотности вероятности
- •Нормальное распределение
- •Правило трех сигм
- •Независимость случайных величин. Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Следствия из закона больших чисел
- •Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Математическая статистика
- •2.1. Основные понятия математической статистики
- •Приемы обработки выборок
- •Построение гистограммы относительных частот
- •Точечные оценки параметров генеральной совокупности
- •Дополнительные свойства точечных оценок
- •Проверка взаимозависимости генеральных совокупностей. Выборочный коэффициент корреляции
- •Интервальные оценки параметров генеральной совокупности
- •Вопросы для самопроверки
- •2.2. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Этапы проверки статистических гипотез
- •Проверка гипотез о параметрах генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Случайные процессы
- •3.1. Элементы теории случайных процессов Определение случайного процесса
- •Основные характеристики случайных процессов
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайного процесса и ее свойства
- •Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства
- •Нормированная корреляционная функция
- •Взаимная корреляционная функция и ее свойства
- •Нормированная взаимная корреляционная функция
- •Производная и интеграл от случайной функции
- •Интеграл от случайной функции и его характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Заключение
- •Библиографический список
Дисперсия случайной величины
Дисперсия случайной величины является мерой разброса (рассеяния) значений этой случайной величины, вокруг ее математического ожидания. Рассмотрим геометрическую схему:
Очевидно, что D(X) < D(Y).
Для дискретной случайной величины Х дисперсия определяется и вычисляется по формуле:
D(Х) = х12 р1 + х22 р2 + ... + хn2 рn – М 2(Х) =
= = . (3)
Для вычисления дисперсии достаточно знать закон распределения случайной величины, используя уже найденное значение математического ожидания случайной величины Х.
Пример 1. Найдем дисперсию случайной величины Х – значения грани, выпавшей на кубике. Используя построенный ранее закон распределения этой случайной величины, получаем:
D(Х) = 1/6 + 4/6 + 9/6 + 16/6 + 25/6 + 36/6 – 3.52 = 91/6 – 12.25 15.17–12.25 = 2.92.
Пример 2. Найдем дисперсию случайной величины Z, возникающей при подбрасывании двух монет, равной числу выпавших гербов.
D(Z) = 0∙1/4 + 1∙1/2 + 4∙1/4 – 12 = 1/2.
Свойства дисперсии
1. D(X) ≥ 0.
2. D(const) = 0.
3. D(СХ) = С2 D(Х).
Эти три свойства доказываются по определению (3).
4. Пусть случайные величины Х и Y – независимы. Тогда
D(Х + Y) = D(Х) + D(Y).
Пример. Пусть требуется найти дисперсию суммы значений, выпавших на двух одновременно подброшенных кубиках.
Решение. Можно получить ответ без вычисления закона распределения суммы двух случайных величин: D(Х+ Y) = 2.92 + +2.92 = 5.84 на основании свойства 4.
Дисперсию биномиальной случайной величины так же легко получить, пользуясь свойством 4: D (Sn) = n p (1–p) = npq.
На практике, в прикладных исследованиях чаще используется тесно связанная с дисперсией величина , называемая среднеквадратическим отклонением рассматриваемой случайной величины. Удобство ее использования состоит в том, что она измеряется в тех же самых единицах, что и случайная величина Х.
Функция распределения случайной величины
Функцией распределения случайной величины Х называется функция, определяемая и вычисляемая по формуле:
F(x) = P(X<x).
Как и закон распределения, функция распределения целиком и полностью, исчерпывающим образом описывает все свойства и поведение рассматриваемой случайной величины. Вычислив функцию распределения или закон распределения случайной величины, мы получаем полную информацию о ней.
В качестве примера построим функцию распределения дискретной случайной величины Х – значения грани, выпавшей на кубике. Для этого проанализируем полученный для нее выше закон распределения:
P({X<1}) = 0, поэтому при х ≤ 1 F(x) = 0.
P({X<2}) = 1/6, поэтому при 1<х ≤ 2 F(x) = 1/6.
P({X<3}) = 1/6 + 1/6, поэтому при 2<х ≤ 3 F(x) = 1/3.
P({X<4}) = 1/6 + 1/6 + 1/6, поэтому при 3<х ≤ 4 F(x) = 1/2.
P({X<5}) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6, поэтому при 4< х ≤ 5 F(x) = 2/3.
P({X<6}) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6, поэтому при 5 < х ≤ 6 F(x) = 5/6.
P({X<t})t>6 = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6+ 1/6, поэтому при 6 < х F(x) = 1.
Построим эту кусочно заданную (ступенчатую) функцию графически:
F(x)
x
Задача. Студенту предложен тест из трех задач. Каждую из них он может решить с вероятностью 0.4. Тестирование заканчивается, как только будет впервые правильно решена какая-либо из задач. Определим дискретную случайную величину Х – количество попыток, которые сделал студент при решении этих задач. Требуется найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию этой случайной величины, построить ее функцию распределения, определить вероятность того, что число попыток будет не более двух.
Решение. Построим закон распределения, проверив контрольную сумму
-
Х
1
2
3
р
0.4
0.24
0.36
Действительно: Х = 1: {решил первую задачу}, Р = 0.4.
Х = 2: {не решил первую, решил вторую}, Р = 0.6 ∙ 0.4 = 0.24.
Х = 3: {не решил первую, не решил вторую, решил третью или не решил ни одной из трех задач}, Р = 0.6 ∙ 0.6 ∙ 0.4 + 0.63 = 0.144 + + 0.216 = 0.36.
М(Х) = 0.4 + 0.48 + 1.08 = 1.96.
D(Х) = 0.4 + 0.96 + 3.24 – 3.8416 = 0.7584.
Построим функцию распределения:
P({X<1}) = 0, поэтому при х ≤ 1 F(x) = 0.
P({X<2}) = 0.4, поэтому при 1 < х ≤ 2 F(x) = 0.4.
P({X<3}) = 0.4 + 0.24, поэтому при 2<х ≤ 3 F(x) = 0.64.
P({X<t})t>3 = 0.4 + 0.24 + 0.36, поэтому при 3 < х F(x) = 1.
Построим эту кусочно заданную (ступенчатую) функцию графически:
F(x)
x
Наконец, P({X ≤ 2}) = 0.4 + 0.24, что следует из закона распределения.