- •Оглавление
- •Глава 1. Теория вероятностей 10
- •Глава 2. Математическая статистика 44
- •Глава 3. Случайные процессы 67
- •Введение
- •Глава 1. Теория вероятностей
- •1.1. Случайные события Основные понятия теории вероятностей
- •Основные определения
- •Операции над случайными событиями
- •Элементы комбинаторики
- •Классическое определение вероятности
- •Свойства вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема сложения вероятностей
- •Теорема умножения вероятностей Условная вероятность
- •Обобщенная теорема умножения вероятностей
- •Независимость случайных событий
- •Вопросы для самопроверки
- •1.3. Формула Бернулли. Формула полной вероятности Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •Формула полной вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.4. Дискретные случайные величины
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •Биномиально распределенные случайные величины
- •Математическое ожидание случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайной величины
- •Свойства дисперсии
- •Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Вопросы для самопроверки
- •1.5. Непрерывные случайные величины
- •Плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •Cвойства функции плотности вероятности
- •Нормальное распределение
- •Правило трех сигм
- •Независимость случайных величин. Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Следствия из закона больших чисел
- •Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Математическая статистика
- •2.1. Основные понятия математической статистики
- •Приемы обработки выборок
- •Построение гистограммы относительных частот
- •Точечные оценки параметров генеральной совокупности
- •Дополнительные свойства точечных оценок
- •Проверка взаимозависимости генеральных совокупностей. Выборочный коэффициент корреляции
- •Интервальные оценки параметров генеральной совокупности
- •Вопросы для самопроверки
- •2.2. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Этапы проверки статистических гипотез
- •Проверка гипотез о параметрах генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Случайные процессы
- •3.1. Элементы теории случайных процессов Определение случайного процесса
- •Основные характеристики случайных процессов
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайного процесса и ее свойства
- •Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства
- •Нормированная корреляционная функция
- •Взаимная корреляционная функция и ее свойства
- •Нормированная взаимная корреляционная функция
- •Производная и интеграл от случайной функции
- •Интеграл от случайной функции и его характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Заключение
- •Библиографический список
Интервальные оценки параметров генеральной совокупности
Недостаток точечных оценок ( , ), полученных ранее, состоит в том, что нами не указывалась величина возможной погрешности при их применении. Не указывается, например, какова вероятность ошибки на 5 %, 10 % и т.д. В особенности это становится актуальным при небольших объемах выборок: n = 5÷15. Построение интервальных оценок позволяет в какой-то мере устранить этот недостаток.
Надежностью назовем вероятность того, что оцениваемая величина попала в некоторый интервал I с центром в точке :
= Р({ }) = Р({| – | }). (9)
Параметр задается заранее, и в наших интересах, чтобы он был как можно ближе к 1 (обычно 0.9, 0.95, 0.99). Из соотношения (9) определяется параметр – полуширина интервала I, в котором, как мы предполагаем, должна содержаться оцениваемая величина: .
Интервальной оценкой называется интервал , для которого вероятность того, что оцениваемый параметр окажется внутри него, равна заранее заданной величине надежности , т.е. выполняется соотношение (9). Такой интервал , обеспечивающий построение интервальной оценки, называется доверительным интервалом.
Построим интервальную оценку для математического ожидания , учитывая, что ранее для нее была получена точечная оценка ~ .
В предположении, что исследуемая генеральная совокупность нормально распределена, то есть, Х = N(a, ), мы решим две задачи о построении интервальной оценки (считая, что объем выборки невелик).
Задача 1. Пусть объем выборки мал, а известна из каких-либо соображений. Требуется построить доверительный интервал с надежностью .
Решение. Из соотношения (9) следует, что
= Р({ }). (10)
В математической статистике доказана теорема: если Х = N (a, σ), то что случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 0, = 1, т.е. = N(0, 1). Для случайной величины N(0, 1) составлены подробные таблицы вероятностей, с которыми ее значения попадают в те или иные интервалы. Выше было указано, что Р({ 0 < N(0, 1) < х}) = Ф(х), где Ф(х) = – интегральная функция Лапласа. Следовательно, с использованием симметрии Р({|N(0, 1)|< х}) = Р({0 < N(0, 1) < х}) + + Р({ –x < N(0, 1) < 0}) = 2∙ Р({0 < N(0, 1) < х}) = 2∙Ф(х). Теперь из (10) следует, что
= 2∙Ф( ).
Используя обратную функцию для Ф(х), получаем
= Ф–1( /2).
Таким образом, доверительный интервал, в котором должна содержаться оцениваемая величина , построен:
.
Следует учитывать, что границы этого интервала носят случайный характер и зависят от конкретных выборочных данных, от выборки. Поэтому корректнее говорить, что с вероятностью точное теоретическое значение математического ожидания накрывается построенным доверительным интервалом.
Вероятность ошибки, т.е. того, что генеральное среднее не накроется доверительным интервалом равна 1– .
Задача 2. Пусть объем выборки мал, но информации, хотя бы приближенной, о числовых значениях параметров исследуемой нормальной генеральной совокупности нет. Построить доверительный интервал с надежностью .
Решение. Из соотношения (9) следует:
= Р({ }), (11)
где является точечной несмещенной оценкой по выборке для неизвестной . Здесь мы приходим к более сложной случайной величине = , распределенной по закону Стьюдента (Т-распределение). Известно, что Т-распределение имеет следующее представление:
,
где – так называемое распределение хи-квадрат (распределение Пирсона) с n степенями свободы, Ni = N(0, 1).
Теперь из (11) следует, что
= Р({ }) = Р({ }) =
= Р({ }) = = .
– функция распределения случайной величины . По аналогии с квантилями, выражающими обращенную функцию распределения, – это такое положительное значение, что
.
Отсюда , следовательно,
= .
Таким образом, доверительный интервал, который должен содержать внутри себя оцениваемую величину , при неизвестной построен:
.
Задание. В предположении, что Х – нормальная генеральная совокупность, взять выборку объема n = 9 (первые 9 элементов из исходной 50-элементной выборки). По этим элементам вычислить , приняв его за центр доверительного интервала. Считать известной: . Установив два уровня надежности = 0.95 и = 0.99, построить для исследуемой генеральной совокупности 2 доверительных интервала. Эти интервалы показать на графике гистограммы и сделать вывод : какова вероятность ошибки нашего прогноза о том, что М(Х) принадлежит первому (второму) интервалу. Решить аналогичную задачу в предположении, что неизвестна, используя ее точечную оценку , полученную по 9 элементам выборки.