- •Оглавление
- •Глава 1. Теория вероятностей 10
- •Глава 2. Математическая статистика 44
- •Глава 3. Случайные процессы 67
- •Введение
- •Глава 1. Теория вероятностей
- •1.1. Случайные события Основные понятия теории вероятностей
- •Основные определения
- •Операции над случайными событиями
- •Элементы комбинаторики
- •Классическое определение вероятности
- •Свойства вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема сложения вероятностей
- •Теорема умножения вероятностей Условная вероятность
- •Обобщенная теорема умножения вероятностей
- •Независимость случайных событий
- •Вопросы для самопроверки
- •1.3. Формула Бернулли. Формула полной вероятности Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •Формула полной вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.4. Дискретные случайные величины
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •Биномиально распределенные случайные величины
- •Математическое ожидание случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайной величины
- •Свойства дисперсии
- •Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Вопросы для самопроверки
- •1.5. Непрерывные случайные величины
- •Плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •Cвойства функции плотности вероятности
- •Нормальное распределение
- •Правило трех сигм
- •Независимость случайных величин. Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Следствия из закона больших чисел
- •Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Математическая статистика
- •2.1. Основные понятия математической статистики
- •Приемы обработки выборок
- •Построение гистограммы относительных частот
- •Точечные оценки параметров генеральной совокупности
- •Дополнительные свойства точечных оценок
- •Проверка взаимозависимости генеральных совокупностей. Выборочный коэффициент корреляции
- •Интервальные оценки параметров генеральной совокупности
- •Вопросы для самопроверки
- •2.2. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Этапы проверки статистических гипотез
- •Проверка гипотез о параметрах генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Случайные процессы
- •3.1. Элементы теории случайных процессов Определение случайного процесса
- •Основные характеристики случайных процессов
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайного процесса и ее свойства
- •Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства
- •Нормированная корреляционная функция
- •Взаимная корреляционная функция и ее свойства
- •Нормированная взаимная корреляционная функция
- •Производная и интеграл от случайной функции
- •Интеграл от случайной функции и его характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Заключение
- •Библиографический список
Глава 1. Теория вероятностей
1.1. Случайные события Основные понятия теории вероятностей
С целью интуитивного ознакомления дадим вначале нестрогое описание понятий. Вероятность события – это мера нашей уверенности в том, что данное событие произойдет. Теория вероятностей – это математика случайности (хотя, с точки зрения обычного человека, математика и случайность мало совместимы).
Теория вероятностей применяется при изучении массовых процессов в окружающем мире. На основе проведенных наблюдений мы можем, например, сделать следующие обоснованные прогнозы:
число покупателей какого-либо товара в магазине в последующий период;
примерное число больных, которые обратятся в поликлинику с гриппом;
величина периода времени, в течение которого какое-либо устройство (например, телевизор) будет работать без сбоев.
Предметом рассмотрения в теории вероятностей также являются:
расшифровка секретных сообщений (криптография);
расчет игорного бизнеса;
теория надежности и ошибок измерений;
прогнозирование инвестиционных процессов;
выбраковка продукции (определение ее качественного состава).
Теория вероятностей на ранних этапах развивалась в исследованиях следующих ученых: Якоб Бернулли (Швейцария, 1654–1705), Пьер Лаплас (Франция, 1749–1827), Симон Пуассон (Франция, 1781–1840), академик П.Л. Чебышев (Россия, 1821–1894), академик А.М. Ляпунов (Россия, 1857–1918), член-корреспондент А.Я. Хинчин (Россия, 1894–1959).
Основные определения
Опыт (испытание) – создание фиксированных условий для реализации какого-либо явления, например:
Подбрасывание монеты.
Подбрасывание кубика (игральной кости).
Выбор случайной точки на отрезке [0, 1].
Анкетирование случайно встреченного человека на улице (узнать и записать его вес в таблицу).
Назовем элементарными исходами различные взаимоисключающие результаты какого-либо опыта.
Пространство элементарных исходов Ω – полная совокупность элементарных исходов опыта: .
Запишем Ω для рассмотренных выше примеров:
1. Ω = {Г, Ц} Г– герб, Ц– цифра.
2. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
3. Ω = {бесконечное число точек отрезка [0, 1]}.
4. Ω = {бесконечное число точек отрезка [20, 200]}.
Случайное событие – событие, которое может произойти, а может и не произойти вне зависимости от нашей воли (если мы можем повлиять на реализуемость события, то оно уже не может считаться случайным). Случайные события будем обозначать большими латинскими буквами А, В, С и т.д.
Пример. Случайным событием может быть выпадение четной грани при однократном подбрасывании кубика А = {2, 4, 6}.
Установим связь между случайными событиями и элементарными исходами.
Элементарный исход называется благоприятствующим случайному событию А, если при его реализации происходит событие А. Говорят, что такие элементарные исходы порождают событие А. Пусть А = {2, 4, 6} = {выпадение четной грани на кубике}, тогда элементарные исходы { } являются благоприятствующими случайному событию А. Напротив, { } = {1, 3, 5} являются неблагоприятствующими событию А. Случайное событие А является подмножеством пространства элементарных исходов Ω : .
Задача. Опыт состоит в одновременном подбрасывании двух монет. Рассмотрим событие В = {выпадение хотя бы одного герба}. Требуется: 1) перечислить все элементарные исходы, т.е. построить Ω; 2) перечислить все исходы , благоприятствующие событию В.
Решение. Пронумеруем монеты
1 М 2 М Г Г Г Ц Ц Г Ц Ц |
Таким образом, = {Г, Г}, = {Г, Ц}, = {Ц, Г}, = {Ц, Ц}. В = { }. |
Задача. Два стрелка одновременно стреляют по одной мишени. Требуется: 1) перечислить все элементарные исходы, т.е. построить Ω; 2) перечислить все исходы , благоприятствующие событию В = {в мишени ровно одна пробоина}. При этом считаем, что если в мишень попали две пули, то и отверстий можно различить два.
Решение.
1 Ст. 2 Ст. П П П Н Н П Н Н |
Таким образом, = {П, П}, = {П, Н}, = {Н, П}, = {Н, Н}. В = { }. Для проверки понимания этой ситуации полезно разобраться, чем отличаются следующие события: |
{в мишени 1 пробоина}.
Невозможное событие – событие, которое заведомо не произойдет в данном опыте. Например, при подбрасывании кубика выпадет: 0, 10, >100, одновременно выпадет 1 и 5.
Достоверное событие Ω – событие, которое обязательно, наверняка, произойдет в данном опыте. Например, при подбрасывании кубика выпадет: число из отрезка [1, 6], <100, > 0.