- •Оглавление
- •Глава 1. Теория вероятностей 10
- •Глава 2. Математическая статистика 44
- •Глава 3. Случайные процессы 67
- •Введение
- •Глава 1. Теория вероятностей
- •1.1. Случайные события Основные понятия теории вероятностей
- •Основные определения
- •Операции над случайными событиями
- •Элементы комбинаторики
- •Классическое определение вероятности
- •Свойства вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема сложения вероятностей
- •Теорема умножения вероятностей Условная вероятность
- •Обобщенная теорема умножения вероятностей
- •Независимость случайных событий
- •Вопросы для самопроверки
- •1.3. Формула Бернулли. Формула полной вероятности Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •Формула полной вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.4. Дискретные случайные величины
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •Биномиально распределенные случайные величины
- •Математическое ожидание случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайной величины
- •Свойства дисперсии
- •Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Вопросы для самопроверки
- •1.5. Непрерывные случайные величины
- •Плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •Cвойства функции плотности вероятности
- •Нормальное распределение
- •Правило трех сигм
- •Независимость случайных величин. Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Следствия из закона больших чисел
- •Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Математическая статистика
- •2.1. Основные понятия математической статистики
- •Приемы обработки выборок
- •Построение гистограммы относительных частот
- •Точечные оценки параметров генеральной совокупности
- •Дополнительные свойства точечных оценок
- •Проверка взаимозависимости генеральных совокупностей. Выборочный коэффициент корреляции
- •Интервальные оценки параметров генеральной совокупности
- •Вопросы для самопроверки
- •2.2. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Этапы проверки статистических гипотез
- •Проверка гипотез о параметрах генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Случайные процессы
- •3.1. Элементы теории случайных процессов Определение случайного процесса
- •Основные характеристики случайных процессов
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайного процесса и ее свойства
- •Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства
- •Нормированная корреляционная функция
- •Взаимная корреляционная функция и ее свойства
- •Нормированная взаимная корреляционная функция
- •Производная и интеграл от случайной функции
- •Интеграл от случайной функции и его характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Заключение
- •Библиографический список
Вопросы для самопроверки
Сформулировать теорему сложения вероятностей (отдельно для случая несовместных событий).
Как вычислить вероятность противоположного события?
Какая вероятность называется условной?
Сформулировать теорему умножения вероятностей.
Дать определение независимости случайных событий.
Дать определение независимости событий через вероятности и условные вероятности.
Сформулировать теорему умножения вероятностей для независимых событий.
1.3. Формула Бернулли. Формула полной вероятности Повторение испытаний. Формула Бернулли
Предположим, что один и тот же опыт производится при неизменных условиях n раз. В каждом из этих опытов случайное событие А может произойти с вероятностью р и не произойти с вероятностью, соответственно, q = (1–p). Вероятность того, что в этих n испытаниях событие А произойдет ровно i раз (0 ≤ i ≤ n) вычисляется по формуле Бернулли:
Рn(i) = .
Задача. Найти вероятность, что при 10 подбрасываниях монеты мы получим ровно 5 гербов.
Решение. А = {выпадение герба в одном, единичном испытании}, р = 0.5, q = 0.5, n = 10, i = 5.
Р10(5) = = 36 ∙ 7/210 = 0.245.
Ценность формулы Бернулли состоит в том, что она дает ответ, когда из-за слишком большого числа элементарных исходов обычные комбинаторные способы подсчета вариантов неприменимы.
Задача. В мастерской работают 12 мастеров. Вероятность того, что мастер находится на рабочем месте равна 0.8. Найти вероятность того, что, случайно зайдя в мастерскую, мы застанем на рабочих местах не менее 10 мастеров.
Решение. Введем случайные события:
А1 = {на рабочем месте 10 мастеров}, P(А1) = Р12(10), А2 = {на рабочем месте 11 мастеров}, P(А2) = Р12(11), А3 = {на рабочем месте 12 мастеров}, P(А3) = Р12(12).
А = А1 + А2 + А3. Р(А) = Р(А1 + А2 + А3) = {по теореме сложения вероятностей для несовместных событий} = Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) = = {применяя формулу Бернулли} = Р12(10) + Р12(11) + Р12(12) = = + + = = 66 ∙ 0.810 ∙ 0.04+ 12 ∙ 0.811 ∙ 0.2 + 0.812 = 66 ∙ 0.107 ∙ 0.04+12 ∙ 0.086 ∙ 0.2 + +0.069 = 0.558.
Формула полной вероятности
Пусть требуется найти вероятность случайного события А. При этом известно, что все пространство элементарных исходов Ω можно разложить на несколько взаимоисключающих, несовместных гипотез: Ω = Н1 + Н2 + Н3 + … (считаем, к примеру, что гипотез – 3). Тогда имеет место формула полной вероятности:
P(A) = P(Н1) ∙ P(A/Н1) + P(Н2) ∙ P(A/Н2) + P(Н3) ∙ P(A/Н3).
Говорят, что гипотезы Нi образуют полную группу событий, т.е. их попарные произведения невозможны, а в сумме они дают все Ω.
Пример. На фабрике первый станок производит 25 % деталей, второй – 35 %, а третий – 40 %. Брак в их продукции составляет соответственно 5, 4 и 3 %. Какова вероятность, что случайно отобранная на складе готовой продукции деталь дефектна?
Решение. Введем гипотезы и найдем их вероятности:
Н1 = {взятая деталь изготовлена на 1-м станке}, P(Н1) = 0.25, Н2 = {взятая деталь изготовлена на 2-м станке}, P(Н2) = 0.35, Н3 = {взятая деталь изготовлена на 3-м станке}, P(Н3) = 0.4. Считая, что А = {взятая деталь дефектна}, вычислим условные вероятности: P(A/Н1) = 0.05, P(A/Н2) = 0.04, P(A/Н3) = 0.03.
Образуют ли гипотезы Нi полную группу событий? – Да. Тогда для нахождения Р(А) можно применить формулу полной вероятности: Р(А) = 0.25 ∙ 0.05 + 0.35 ∙ 0.04 + 0.4 ∙ 0.03 = 0.0385.
Пример. Человек одет в костюм, имеющий два кармана: правый и левый. В правом кармане 5 десятирублевых купюр и 3 сторублевые купюры. В левом кармане – 9 десятирублевых купюр и 2 сторублевые купюры. Найти вероятность того, что выбрав наугад карман и достав из него случайным образом купюру, он вынет «десятку». Изменится ли вероятность, если перед выниманием мы все купюры из обоих карманов переложим в один?
Решение. Введем гипотезы и найдем их вероятности:
Н1 = {выбран правый карман}, P(Н1) = 0.5, Н2 = {выбран левый карман}, P(Н2) = 0.5. Считая, что А = {взятая купюра – «десятка»}, вычислим условные вероятности: P(A/Н1) = 5/8, P(A/Н2) = 9/11. Так как гипотезы Нi образуют полную группу событий, то можно применить формулу полной вероятности:
Р(А) = 0.5 ∙ 5 / 8 + 0.5 ∙ 9 / 11 = 0.722.