Элементы теории.

Пусть дано уравнение f( x ) = 0. Число  называется корнем данного уравнения, если оно, будучи подставленным в уравнение, обращает его в равенство, то есть f( ) = 0. Число  называют нулем функции f( x ). Нахождение корней уравнения с определенной точностью можно разделить на два этапа:

1) отделение корней, то есть установление промежутков, в которых содержится один корень уравнения;

2) вычисление корня, принадлежащего выбранному промежутку, с заданной точностью.

Известно, что если функция f( x ) непрерывна и принимает на концах отрезка [a, b] значения разных знаков, то есть f( a ) f( b ) < 0, то внутри этого отрезка найдется нуль функции.

Для отделения (или локализации) корня уравнения f( x ) = 0 для непрерывной в области определения функции f( x ) можно составить таблицу значений функции у = f( x ) на определенном промежутке изменения аргумента х. Если для некоторых соседних значений аргумента значения функции имеют разные знаки, то нуль функции находится между ними.

Пусть дано уравнение f( x ) = 0, где функция f( x ) непрерывна на отрезке [a, b] и f( a ) f( b ) < 0. Для вычисления корня данного уравнения   [a, b] находится середина этого отрезка x₁ = 0,5(a+b). Если f( x₁ )  0, то для продолжения вычислений выбирается та из частей данного отрезка [a, х₁] или [х₁ , b], на концах которой функция f( x ) имеет противоположные знаки. Концы нового отрезка обозначаются а₁ и b₁ . Новый отрезок [a₁ , b₁ ] снова делится пополам и производятся вычисления по изложенной схеме и так далее. В результате получается либо точный корень заданного уравнения на каком-то этапе, либо последовательность вложенных отрезков [a, b], [a₁ , b₁ ], … , [a_n , b_n ], …, таких что:

f( a_n ) f( b_n ) < 0 , n =1, 2, …

.

Число  - общий предел последовательностей ( а_n ) и ( b_n ) – является корнем уравнения f( x ) = 0.

Оценка погрешности решения на n-ом шаге вычислений имеет вид:

,

где a_n   с точностью .

Порядок выполнения лабораторной работы.

Пример. Методом половинного деления с точностью  = 0,01 найти корень уравнения 4 – е ^х –2х ² = 0 при х > 0.

Вид рабочего листа MS Exsel приведен на рисунке.

1. Определим отрезок локализации корня. Вычислим значения функции f( x ) = 4 – е ^х –2х ² с шагом х = 1 от начального значения х = 0. Заполняем ячейки рабочего листа: А2 = "х" (заголовок столбца значений аргумента), В2 = "f(x)" (заголовок столбца значений функции), А3 = "0" (начальное значение аргумента), А4 = "1" (следующее значение аргумента). Протяжкой диапазона А2:А3 вниз по столбцу А получаем другие значения аргумента х. Заполняем ячейки рабочего листа для вычисления значения функции: В3 = "=4-EXP(A3)-2*A3^2" (вычисление значения функции f( x ) = 4 – е ^х –2х ² в начальной точке). Протяжкой формулы из ячейки В3 вниз по столбцу В вычисляем значения функции f( x ) для других значений аргумента. Находим отрезок, длиной х = 1, на концах которого функция f( x ) имеет разные знаки. В рассматриваемом примере это отрезок [0, 1].

2. Оформляем диапазон ячеек для реализации одной итерации метода половинного деления: в ячейки D2 и E2 заносятся символы аргумента и функции, в ячейки D3 и D5 будем заносить концы текущего отрезка, содержащего корень, D4 = "=(D5+D3)/2" (середина исследуемого отрезка), Е3 = "=4-EXP(D3)-2*D3^2" (значение функции f( x ) = 4 – е ^х –2х ² в левой точке исследуемого отрезка). Протягиваем формулу из ячейки Е3 в ячейки Е4:Е5, вычисляя значения функции f( x ) в середине и правой границе исследуемого отрезка. Задавая границы исследуемого отрезка в ячейках D3 и D5, получаем в ячейке D4 середину отрезка, а в ячейках Е3:Е5 – значения функции f( x ) в трех опорных точках. В качестве следующего вложенного отрезка выбирается тот, на границах которого функция f( x ) имеет разные знаки.

Результаты расчета границ вложенных отрезков и оценку погрешности на каждом шаге оформим в таблице. Заголовки строк: А10 = "а", А11 = "b", А12 = "b-а". В строках 10 и 11 заносим границы вложенных отрезков, В12 = " =B11-B10" (длина текущего отрезка – оценка погрешности начального приближения). Далее по строке 12 протягиваем формулу из ячейки В12 и получаем оценки погрешностей текущих приближений.

В рассматриваемом примере реализована следующая последовательность итераций (в диапазоне D2:E5).

1-ая итерация			2-ая итерация			3-ья итерация			4-ая итерация
x	f(x)		x	f(x)		x	f(x)		x	f(x)
0	3		0.5	1.851279		0.75	0.758		0.875	0.069875
0.5	1.851279		0.75	0.758		0.875	0.069875		0.9375	-0.3114
1	-0.71828		1	-0.71828		1	-0.71828		1	-0.71828
5-ая итерация			6-ая итерация			7-ая итерация			8-ая итерация
x	f(x)		x	f(x)		x	f(x)		x	f(x)
0.875	0.069875		0.875	0.069875		0.875	0.069875		0.882813	0.023594
0.90625	-0.1176		0.890625	-0.02308		0.882813	0.023594		0.886719	0.000307
0.9375	-0.3114		0.90625	-0.1176		0.890625	-0.02308		0.890625	-0.02308

На последней итерации достигнута требуемая точность d_k = 0,007813, меньшая заданной  = 0,01. Обычно в качестве приближенного решения принимается середина последнего отрезка: х^* = 0,8867.