Типовой отчет.

1. Методом половинного деления с точностью  = 0,01 найти корень уравнения 4 – е ^х –2х ² = 0 при х > 0.

2. Табулированием функции определен отрезок [0, 1], содержащий корень уравнения, так как на его границах функция f( x ) = 4 – е ^х –2х ² имеет разные знаки.

3. Результаты расчетов по методу половинного деления представлены в таблице.

a	0	0.5	0.75	0.875	0.875	0.875	0.875	0.882813
b	1	1	1	1	0.9375	0.90625	0.890625	0.890625
b-a	1	0.5	0.25	0.125	0.0625	0.03125	0.015625	0.007813

В качестве решения выбрана середина последнего отрезка х^* = 0,8867.

Варианты.

Методом половинного деления найти решение уравнения с точностью  = 0,01.

1.	x^4 – 3x – 20 = 0, x > 0	2.	x^3 – 2x – 5 = 0, x > 0
3.	x^3 + 3x + 5 = 0	4.	x^4 + 5x – 7 = 0, x > 0
5.	x^3 – 12x – 5 = 0, x > 0	6.	x^3 – 2x^2 – 4x + 5 = 0, x < 0
7.	x + e^x = 0	8.	x^5 - x - 2 = 0
9.	x^3 – 10x + 5 = 0, x < 0	10.	2 – ln x – x = 0
11.	x^3 + 2x - 7 = 0	12.	x^3 + x^2 – 11 = 0, x > 0
13.	x^4 – 2x – 4 = 0, x > 0	14.	2e^x + x – 1 = 0
15.	x^4 – 2x – 4 = 0, x < 0	16.	2x^3 + x^2 – 4 = 0, x > 0
17.	e^x – x – 2 = 0	18.	0,5e^x – x – 1 = 0, x > 0
19.	x^2 – cos x = 0, x > 0	20.	x^2 + ln x = 0
21.	ln x + 0,5x – 1 = 0	22.	ln x - 0,5x + 1 = 0, x > 1
23.		24.	, x > 0
25.

Вид рабочего листа MS Exsel

Лабораторная работа № 6

"Метод итераций для нелинейных уравнений"

Элементы теории.

Требуется решить уравнение, представленное в виде:

x = g( x ),

где g( x ) – непрерывная на отрезке [a, b] функция. С помощью алгоритма:

x_{k + 1} = g( x_k ), k = 0, 1, 2, …

получаем последовательность точек x_k , которую называют последовательностью итераций для заданного уравнения. Если все точки x_k  [a, b] и существует предел то, переходя к пределу в равенстве

x_{k + 1} = g( x_k ), k = 0, 1, 2, …,

получим

, то есть  = g( ).

Это значит, что  является корнем заданного уравнения. Достаточные условия сходимости последовательности итераций содержатся в следующей теореме.

Теорема. Пусть функция g( x ) имеет на отрезке [a, b] непрерывную производную и выполнены два условия:

1) g( x )  q < 1 при x  [a, b] ;

2) значения функции g( x )  [a, b] для любого x  [a, b] .

Тогда при любом выборе начального приближения x₀  [a, b] процесс итераций сходится к единственному корню .

Оценка погрешности k-го приближения к корню  имеет вид:

,

где .

Пусть необходимо решить уравнение f( x ) = 0. Это уравнение для любого   0 равносильно уравнению x = g( x ), где g( x ) = x +  f( x ). Пусть f( x ) > 0 и непрерывна на [a, b]. Обозначим , , , и рассмотрим функцию:

.

Для этой функции выполняются достаточные условия сходимости итераций, в частности, условие 1 теоремы вытекает из следующих неравенств:

0 < m  f( x )  M,

для любого x  [a, b] .

Если вычисление точного значения числа затруднительно, то можно заменить его произвольным числом М₁ > М. Следует учитывать, что при большом М₁ число ближе к единице и процесс итераций сходится медленнее.

При нахождении корня уравнения x = g( x ) с заданной точностью  или при оценке погрешности k-го приближения можно воспользоваться следующей приближенной оценкой:

.

Если , то вместо уравнения f( x ) = 0 надо использовать равносильное уравнение -f( x ) = 0. Тогда вспомогательная функция имеет вид g(x_k) = x_k -  f(x_k).