- •Часть 1
- •Содержание
- •Введение
- •Лабораторная работа № 1 "Теория погрешностей" Элементы теории
- •Пример выполнения работы
- •Варианты
- •Лабораторная работа № 2 "Вычисление норм векторов, матриц и функций" Элементы теории
- •Порядок выполнения работы
- •Варианты
- •Лабораторная работа № 3 "Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений" Элементы теории.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Вид расчетного листа ms Exsel.
- •Лабораторная работа № 5
- •Элементы теории.
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Требуется решить уравнение, представленное в виде:
- •Последовательность решения задачи.
- •Типовой отчет
- •Варианты.
- •Систему 2-х уравнений с двумя неизвестными
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Вид рабочего листа ms Exsel
- •Расчет нормы матрицы Якоби системы вспомогательных функций.
- •Заключение
- •Литература
- •Часть 1
Лабораторная работа № 3 "Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений" Элементы теории.
Пусть задана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) из n уравнений с n неизвестными:
.
Решением данной СЛАУ является упорядоченное множество чисел (вектор) таких, что подстановка x1 = 1 , x2 = 2 , … , xn = n превращает все уравнения системы в равенства.
Введем обозначения:
- матрица коэффициентов при переменных,
- вектор правых частей уравнений,
- вектор переменных.
Тогда СЛАУ записывается в следующей векторно-матричной форме:
.
Расширенной матрицей СЛАУ называется матрица коэффициентов при переменных, которая дополнена справа вектором правых частей. Все линейные преобразования уравнений системы (то есть умножение уравнения на число и прибавление к уравнению линейной комбинации остальных уравнений) эквивалентны соответствующим преобразованиям со строками расширенной матрицы.
Рассмотрим алгоритм метода Гаусса решения данной СЛАУ (точнее, его вариант, имеющий название метод Жордано-Гаусса).
Рассмотрим 1-ое уравнение системы и назовем его ведущим уравнением 1-ой итерации. Предположим, что а11 0. Если это не так, то перестановкой переменных всегда можно добиться выполнения данного условия. Элемент а11 назовем ведущим (или разрешающим) элементом преобразования Жордано-Гаусса и соответственно, строка и столбец, на пересечении которых расположен ведущий элемент, также называются ведущими. Первое уравнение системы делится на ведущий элемент. Из остальных уравнений системы переменная x1 исключается с помощью вычитания из преобразуемой строки 1-ой строки, умноженной на соответствующий коэффициент. Формулы для новых значений коэффициентов и расширенной матрицы системы имеют вид:
- для ведущей 1-ой строки,
- для остальных строк.
После этого переобозначим коэффициенты и получим СЛАУ в тех же обозначениях, что и первоначальную. В расширенной матрице коэффициентов 1-ый столбец представляет собой единичный вектор с первым элементом, равным единице.
Рассмотрим второе уравнение системы и проведем описанную выше итерацию метода Жордано-Гаусса, используя в качестве ведущего элемента а22 0. Повторяем эти итерации для всех уравнений системы. Если рассматривается k-ая строка с ведущим элементом аkk 0, то формулы для новых значений коэффициентов и расширенной матрицы системы имеют вид:
- для ведущей k-ой строки,
- для остальных строк.
Формулу для пересчета коэффициентов неведущих строк можно представить в виде следующей схемы. Ведущий (ВЭ) и пересчитываемый (ПЭ) элементы определяют в расширенной матрице прямоугольник, две остальные вершины которого располагаются на пересечении ведущей строки и столбца пересчитываемого элемента (Э1) и пересечении ведущего столбца и строки пересчитываемого элемента (Э2).
ВЭ …………… Э1
…………………….
Э2 …………… ПЭ
Тогда можно использовать следующую формулу для вычисления нового значения пересчитываемого элемента (НПЭ):
.
Эта формула верна и в том случае, когда пересчитываемый элемент расположен в ведущем столбце. Тогда Э1 = ВЭ и Э2 = ПЭ.
В процессе преобразований возможны следующие случаи:
1) на некоторой итерации правая и левая части какого-либо уравнения обратились в 0 (то есть все коэффициенты aij и bi i-го уравнения равны нулю). Это значит, что i-ое уравнение является линейной комбинацией остальных уравнений системы, может быть исключено из нее, СЛАУ переопределена и имеет бесконечное множество решений;
2) на некоторой итерации левая часть какого-либо уравнения обратилась в ноль, а правая отлична от нуля. Это значит, что система несовместна и решения не существует;
3) после выполнения всех итераций получено решение системы. При этом матрица коэффициентов приведена к единичной матрице.