- •Часть 1
- •Содержание
- •Введение
- •Лабораторная работа № 1 "Теория погрешностей" Элементы теории
- •Пример выполнения работы
- •Варианты
- •Лабораторная работа № 2 "Вычисление норм векторов, матриц и функций" Элементы теории
- •Порядок выполнения работы
- •Варианты
- •Лабораторная работа № 3 "Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений" Элементы теории.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Вид расчетного листа ms Exsel.
- •Лабораторная работа № 5
- •Элементы теории.
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Требуется решить уравнение, представленное в виде:
- •Последовательность решения задачи.
- •Типовой отчет
- •Варианты.
- •Систему 2-х уравнений с двумя неизвестными
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Вид рабочего листа ms Exsel
- •Расчет нормы матрицы Якоби системы вспомогательных функций.
- •Заключение
- •Литература
- •Часть 1
Варианты.
Найти корень заданного уравнения методом итераций с точностью = 0,01 и = 0,001 для двух отрезков локализации корня: с параметром q < 0,5 и q > 0,5. Для каждого из отрезков провести расчет для 3-х начальных приближений: границ и середины отрезка локализации корня. Для каждого расчета определить приближенное значение корня x* уравнения, число итераций k до достижения заданной точности, фактическое отклонение от точного решения .
1. |
x4 – 3x – 20 = 0, x > 0 |
2. |
x3 – 2x – 5 = 0, x > 0 |
3. |
x3 + 3x + 5 = 0 |
4. |
x4 + 5x – 7 = 0, x > 0 |
5. |
x3 – 12x – 5 = 0, x > 0 |
6. |
x3 – 2x2 – 4x + 5 = 0, x < 0 |
7. |
x + e x = 0 |
8. |
x5 - x - 2 = 0 |
9. |
x3 – 10x + 5 = 0, x < 0 |
10. |
2 – ln x – x = 0 |
11. |
x3 + 2x - 7 = 0 |
12. |
x3 + x2 – 11 = 0, x > 0 |
13. |
x4 – 2x – 4 = 0, x > 0 |
14. |
2e x + x – 1 = 0 |
15. |
x4 – 2x – 4 = 0, x < 0 |
16. |
2x3 + x2 – 4 = 0, x > 0 |
17. |
e x – x – 2 = 0 |
18. |
0,5e x – x – 1 = 0, x > 0 |
19. |
x2 – cos x = 0, x > 0 |
20. |
x2 + ln x = 0 |
21. |
ln x + 0,5x – 1 = 0 |
22. |
ln x - 0,5x + 1 = 0, x > 1 |
23. |
|
24. |
, x > 0 |
25. |
|
|
|
Вид рабочего листа MS Exsel
Лабораторная работа № 7
"Метод итераций для системы нелинейных уравнений"
Элементы теории.
Систему 2-х уравнений с двумя неизвестными
(1)
будем представлять в виде
. (2)
Решением системы уравнений называется вектор , координаты которого подставленные в систему обращают ее уравнения в равенства.
Пусть установлено, что система имеет единственное решение , принадлежащее замкнутому прямоугольнику
D = { (x,y): a x b; c y d }.
Возьмем произвольную точку и, используя формулы
xk = g1(xk-1 , yk-1 ), yk = g2(xk-1 , yk-1 ), k = 1, 2, 3, … (3)
получим последовательность векторов , которая сходится к решению уравнения , если выполняются условия следующей теоремы.
Теорема. Если функции g1(x , y) и g2(x , y) непрерывны вместе со своими частными производными 1-го порядка в замкнутом прямоугольнике D и выполнены два условия:
1) норма матрицы Якоби Jg функций g1(x , y) и g2(x , y) не превосходит единицы для любого вектора ;
2) значения вектор-функции для любого вектора , то при любом выборе начального приближения процесс итераций сходится к единственному корню системы уравнений в прямоугольнике D.
Оценка погрешности k-го приближения к решению имеет вид:
,
где .
При решении методом итераций системы нелинейных уравнений областью D можно считать множество точек вблизи точки пересечения кривых, определяемых уравнениями f1(x, y) = 0 и f2(x, y) = 0.
Для практической оценки погрешности k-го приближения можно пользоваться неравенствами:
В качестве вспомогательных функций можно выбрать:
(4)
Система уравнений (1) равносильна системе уравнений (2) с правыми частями (4) при условии:
Для вычисления корректирующих множителей ij будем считать, что матрица Якоби Jg равна нулю в точке . Тогда, в силу предположения о непрерывности компонент матрицы, найдется окрестность точки , где , и условия теоремы выполнены.
Будем для определенности использовать m-нормы для оценки матриц и векторов:
,
.
Равенство в m-норме означает, что матрица - нулевая, то есть:
,
что эквивалентно системе линейных алгебраических уравнений:
Эта система распадается на две системы линейных алгебраических уравнений:
,
.
Вводим обозначения:
- 1-ая вектор-строка матрицы корректирующих множителей,
- 2-ая вектор-строка матрицы корректирующих множителей,
- матрица Якоби системы функций f1(x, y) и f2(x, y),
- вектор правых частей 1-ой системы,
- вектор правых частей 2-ой системы.
Для вектор-строк 1 и 2 не используется символ "", так как вектором считаем упорядоченный столбец чисел.
Тогда системы уравнений для определения корректирующих коэффициентов запишутся в виде:
Символ "т" означает транспонирование матриц.
Их решение имеет вид:
Обозначим элементы обратной матрицы Якоби следующим образом:
.
Тогда, учитывая структуру векторов и , получим следующие значения корректирующих множителей:
.
Таким образом, итерационный алгоритм (3) полностью определен.