Типовой отчет

1. Найти корень уравнения x + ln x = 0 методом итераций с точностью  = 0,01 и  = 0,001 для двух отрезков локализации корня: с параметром q < 0,5 и q > 0,5. Для каждого из отрезков провести расчет для 3-х начальных приближений: границ и середины отрезка локализации корня. Для каждого расчета определить приближенное значение корня x^* уравнения, число итераций k до достижения заданной точности, фактическое отклонение от точного решения .

2. Область определения функции f(x) = x + ln x: x > 0.

3. f(0,1) = -2,20259, f(0,6) = 0,089174. Корень локализован на отрезке x  [0,1; 0,6].

4. Производная функции f(x): .

Минимальное значение модуля производной:

.

Максимальное значение модуля производной:

.

5. Коэффициент уменьшения погрешности за одну итерацию:

. Достаточные условия сходимости алгоритма q < 1 выполняются.

6. Корректирующий множитель .

7. Итерационный алгоритм реализуется в соответствии с формулой:

x_k+1 = g(x_k), где g(x_k) = x_k +  f(x_k), k = 0, 1, 2, …

Так как q > 0,5, то оценка точности на итерации k + 1 осуществляется по формуле: d_k+1 =  - x_k+1  10 x_k - x_k+1.

Точное значение корня  = 0,567143.

В таблице представлены результаты расчета корня x^* уравнения для 3-х начальных приближений x₀ (границ и середины отрезка локализации корня), для 2-х заданных погрешностей расчета ( = 0,01 и  = 0,001), число итераций k до достижения заданной точности, фактическое отклонение от точного решения .

x0	 = 0,01			 = 0,001
	x^*	k	 - x^*	x^*	k	 - x^*
0,1	0,564370	16	0,002774	0,566870	24	0,000274
0,35	0,564775	15	0,002368	0,566910	23	0,000234
0,6	0,569630	9	0,002487	0,567390	17	0,000246

8. Найден отрезок локализации корня шириной 0,2, равный x  [0,5; 0,7]. Тогда параметры задачи равны: m = 2,428571, M = 3, q = 0,190476,  = -0,33333. Так как q < 0,5, то оценка точности на итерации k + 1 осуществляется по формуле: d_k+1 =  - x_k+1   x_k - x_k+1. Изменяется формула в ячейке Е12 = "=ABS(D12-D11)" и протягивается вниз по столбцу Е.

Результаты расчетов представлены в таблице.

x0	 = 0,01			 = 0,001
	x^*	k	 - x^*	x^*	k	 - x^*
0,5	0,566929	2	0,000214	0,567126	3	0,000017
0,6	0,567369	2	0,000252	0,567163	3	0,000020
0,7	0,567273	3	0,000130	0,567154	4	0,000010

9. Результаты численных расчетов следует представлять с учетом заданной точности расчета: x^*= 0,56  0,01 (с точностью  = 0,01) и x^*= 0,567  0,001 (с точностью  = 0,001).