1.9. Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа:

i₁ + i₂ + i₃ + … = 0.

Так как изображение любого тока по Лапласу имеет вид

i_k I_k(p),

тогда первый закон Кирхгофа в операторной форме:

I₁(p) + I₂(p) + I₃(p) + … = 0, (1.9.1)

или

.

Второй закон Кирхгофа, представленный в п.1.8 на примере отдельной ветви(рис.1.8), можно распространить на контур:

(1.9.2)

- второй закон Кирхгофа в операторной форме.

1.10. Формула разложения.

В результате расчета переходных процессов операторным методом получаем изображение соответствующего тока или напряжения. Следующим этапом является определение оригинала функции, это становится возможным, если воспользоваться обратным преобразованием Лапласа или таблицей соответствия оригиналов и изображений по Лапласу. В общем случае для перехода от изображения к оригиналу можно воспользоваться теоремой разложения. Полученное операторное изображение представляется в виде отношения двух полиномов, например для тока:

, (1.10.1)

где N(p) и M(p) – полиномы относительно р, при этом знаменатель М(р) имеет п простых корней.

Рациональная дробь может быть разложена на простые дроби:

, (1.10.2)

где p_k - корни уравнения M(p) = 0.

Окончательно искомая функция может быть представлена следующим образом:

, (1.10.3)

где п – общее число корней.

Уравнение М(р) = 0 может содержать нулевой корень. Его наличие означает, что в послекоммутационной схеме возникает некоторый установившийся режим, т.е. принужденная составляющая отлична от нуля. Если корни уравнения получились комплексно сопряженные, т.е. процесс развивается по колебательному закону, использование формулы разложения имеет дополнительную особенность. Она состоит в том, что суммирование решений по двум комплексно - сопряженным корням предполагает устранение мнимой составляющей и удвоение ее вещественной части.

1.11. Методика расчета цепи операторным методом

1. Определяются независимые начальные условия цепи до коммутации.

2. Для цепи после коммутации составляется операторная схема, которая учитывает возможность появления операторных источников энергии.

3. Любым из известных методов расчета сложных электрических цепей определяется операторный ток или напряжение.

4. По теореме разложения осуществляют переход от изображения к оригиналу.

1.12. Общая методика расчета цепи операторным методом

на примере цепи второго порядка

1. Расчет проведем на примере цепи (рис.1.12.1).

Рис.1.12.1. Схема цепи с двумя накопителями энергии

Исходные данные:

R₁=R₂=10 Ом, L=5 мГн, С=10 мкФ, Е=100 В.

1. Определяем независимые начальные условия:

;

u_C(-0)=u_C(0)=0.

2. Составляем операторную схему:

Рис.1.12.2. Операторная схема цепи с двумя накопителями энергии

3. Входное сопротивление цепи в операторной форме:

.

Изображение тока первой ветви:

;

.

После алгебраических преобразований получим:

.

4. Оригинал функции рассчитаем по теореме разложения:

.

Решение уравнения М(р) = 0 дает следующие корни:

р₁ = 0;

p_2,3 = - 6∙10³ j∙2∙10³ = -α jω₁.

Наличие нулевого корня говорит о том, что принужденная составляющая тока i₂(t) не равна нулю. Выражение в квадратных скобках полностью повторило полученное характеристическое уравнение цепи после коммутации, и его корни нам известны, тогда:

;

р₁ = 0;

;

р₂ = -6∙10³ + j∙2∙10³;

;

р₃ = -6∙10³ - j∙2∙10³;

_.

В сумме слагаемых и мнимые части слагаемых сокращаются и остается удвоенная вещественная часть выражения i₂(t), в итоге такого преобразования получим окончательное решение:

;

.

Расчет тока i₂(t) классическим и операторным методами показывает их полное совпадение.