4. Закон больших чисел

Нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих причин, учесть которые мы не в состоянии. Казалось бы, что о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромные сведения, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшей.

Прежде, чем перейти к рассмотрению этих теорем, мы введем сначала неравенство Маркова и неравенство Чебышева, которые примем без доказательства.

Теорема 4.1 (неравенство Маркова).

Если случайная величина X может принимать только неотрицательные значения и у нее есть математическое ожидание, то каково бы не было положительное число той же размерности, что и X, всегда выполняется неравенство

. (4.1)

В этом случае выполняется и неравенство

. (4.2)

Теорема 4.2 (неравенство Чебышева).

Каково бы ни было для любой случайной величины X, дисперсия которой конечна, имеет место следующее неравенство:

. (4.3)

В этом случае выполняется и неравенство

. (4.4)

Пример 4.1. Средний срок службы мотора 4 года. Оценить вероятность того, что данный мотор не прослужит более 20 лет.

Решение. Пусть случайная величина X – срок службы мотора. Из условия задачи следует, что . Требуется найти , где . Тогда, используя неравенство Маркова, получаем

.



Пример 4.2. Электростанция обслуживает сеть из 18000 ламп, вероятность включения каждой из которых в зимний вечер равна 0,9. Оценить вероятность того, что число ламп, включенных в сеть зимним вечером, отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине менее чем на 200.

Решение. Пусть случайная величина X – число включенных рамп. Случайная величина распределена по биноминальному закону с математическим ожиданием . По условию задачи . Тогда, используя неравенство Чебышева, получаем

.

Точное значение можно было бы определить, используя формулу для нормального закона распределения, где по условию задачи . Тогда

.



Замечание: Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, поскольку часто дает грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку. Теоретическое же значение неравенства Чебышева весьма велико, поскольку с помощью этого неравенства доказывается теорема Чебышева.

Теорема 4.3 (теорема Чебышева).

Если – последовательность попарно независимых случайных величин, у каждого из которых есть математическое ожидание и дисперсия , причем дисперсии равномерно ограничены (не превышают постоянного числа C) то для любого положительного числа

. (4.5)

Доказательство. Последовательность равномерно ограничена, т.е. , что .

Рассмотрим случайную величину – среднее арифметическое случайных величин

.

Найдем математическое ожидание и дисперсию этой величины, используя соответствующие свойства: для математического ожидания – постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий; для дисперсии – постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат, дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсия слагаемых:

;

.

Таким образом, удовлетворяет всем требованиям для применения неравенства Чебышева, а значит, при имеем

или

.

Итак,

Пусть , тогда при . Отсюда

.



Следствие. Если  последовательность независимых случайных величин, математические ожидания каждой из которых равны , а дисперсии  , то имеют место следующие неравенство и формула

, (4.6)

и

. (4.7)

Отсюда видно, что среднее арифметическое значение величин , а это есть случайная величина, при большом числе как угодно мало отличается от постоянной величины .

Сущность доказанной теоремы Чебышева и следствия из этой теоремы такова: хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения далекие от своих математических ожиданий,  среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу, а именно к числу или к числу в частном случае. Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеяно мало. Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть какое значение примет их среднее арифметическое.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсия которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонение каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева справедлива не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин.

Доказанная теорема Чебышева и следствие из нее имеют большое практическое применение.

Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений и их среднее арифметическое принимают в качестве искомого размера. При каких условиях этот способ измерения можно считать правильным? Ответ на этот вопрос дает теорема Чебышева (ее частный случай).

Действительно, рассмотрим результаты каждого измерения как случайные величины . К этим величинам можно применить теорему Чебышева, если: 1) они попарно независимы; 2) имеют одно и то же математическое ожидание; 3) дисперсии их равномерно ограничены.

Первое требование выполняется, если результат каждого измерения не зависит от результатов остальных.

Второе требование выполняется, если измерения произведены без систематических (одного знака) ошибок. В этом случае математическое ожидание всех случайных величин одинаковы и равны истинному размеру a.

Третье требование выполняется, если прибор обеспечивает определенную точность измерений. Хотя при этом результаты отдельных измерений различны, но рассеяние их ограниченно.

Если все указанные требования выполнены, то вправе применить к результатам измерений теорему Чебышева или следствие из нее. Среднее арифметическое значение результатов измерений с ростом приближается к истинному значению измеряемой величины . Поэтому можно положить

.

Однако ошибочно думать, что, увеличивая число измерений можно достичь сколь угодно большой точности. Дело в том, что сам прибор дает показания лишь с точностью ; поэтому каждый из результатов измерений, а, следовательно, и их среднее арифметическое, будут получены лишь с точностью, не превышающей точности прибора.

На теореме Чебышева основан широко применимый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят обо всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов.

Пример 4.3. Сколько раз нужно измерить данную величину, истинное значение которой равно , чтобы с вероятностью, не меньшей, чем 0,95, можно было утверждать, что среднее арифметическое значение этих измерений отличается от по абсолютной величине меньше, чем на 3, если среднее квадратическое отклонение каждого из измерений меньше 12?

Решение. Пусть – результат i-го измерения. Из условия задачи следует, что . Поэтому

.

Найдем число n, при котором

.

Так как

где , то это неравенство, во всяком случае, будет выполняться, если

Отсюда

.

Итак, достаточно сделать 320 измерений данной величины.



Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Можно ли предвидеть: какой будет относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Яковом Бернулли (опубликованная в 1713 г.), которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке. Доказательство Я. Бернулли было сложным; простое доказательство дано П.Л. Чебышевым в 1846 г. Сформулируем теорему Бернулли без доказательства.

Теорема 4.4 (теорема Бернулли).

Если в каждом из независимых испытаний вероятность появления события постоянно, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности будет меньше по модулю положительного числа , если число испытаний достаточно велико

. (4.8)

Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности ; другими словами, из теоремы Бернулли не вытекает равенство . В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

Таким образом, сходимость относительной частоты к вероятности отличается от сходимости в смысле обычного анализа. Для того чтобы подчеркнуть это различие, вводят понятие «сходимости по вероятности». Точнее, различие между указанными видами сходимости состоит в следующем: если стремится при к как пределу в смысле обычного анализа, то, начиная с некоторого и для всех последующих значений , неуклонно выполняется неравенство ; если же стремится по вероятности к при , то для отдельных значений неравенство может не выполняться.

Итак, теорема Бернулли утверждает, что при относительная частота стремится по вероятности к . Коротко теорему Бернулли записывают так:

.