Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

.

Доказательство. Рассмотрим постоянную величину как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение и принимает его с вероятностью . Следовательно,

. 

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

Доказательство. Пусть случайная величина задана законом распределения вероятностей:

.

Запишем закон распределения случайной величины :

.

Найдем по формуле (1.2) математическое ожидание случайной величины :

.

Итак,

.



Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

Доказательство. Пусть независимые случайные величины и заданы своими законами распределения вероятностей. Чтобы упростить выкладки, ограничимся малым числом возможных значений:

и .

Составим закон распределения случайной величины , который примет следующий вид:

.

Математическое ожидание равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:

.

Итак,

.



Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

.

Свойство 4 примем без доказательства.

Как мы отметили выше, математическое ожидание СВ характеризует среднее этой СВ, это центр ее распределения. Вторая отличительная особенность СВ – степень разброса этой величины по отношению к ее центру. Наиболее употребительной оценкой указанного разброса является дисперсия.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения СВ и затем найти их средне значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т.е. для любой СВ. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие – отрицательны; в результате их взаимное погашение среднее значение отклонения равно нулю.

Определение 1.7. Дисперсией (рассеянием) дискретной СВ называют математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:

. (1.3)

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 1.1. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата СВ X и квадратом ее математического ожидания:

. (1.4)

Доказательство. Математическое ожидание есть постоянная величина, следовательно, и есть также постоянные величины. Приняв это во внимание и используя свойства математического ожидания, упростим формулу, выражающую определение дисперсии:

Итак,

.



Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

.

Доказательство. По определению дисперсии

.

Используя свойство математического ожидания, получаем

.

Итак,

.



Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяние, конечно, не имеет.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

.

Доказательство. По определению дисперсии

.

Используя свойство математического ожидания, получаем

.

Итак,

.



Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых СВ равна сумме дисперсий этих величин:

.

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых СВ равна сумме дисперсий этих величин:

.

Свойства 3 и 4 примем без доказательства.

Дисперсия как мера рассеивания значений СВ обладает тем недостатком, что ее размерность не совпадает с размерностью СВ (размерность дисперсии – это квадрат размерности СВ).

Поэтому вводится еще одна мера рассеивания с размерностью, совпадающей с размерностью СВ. Это так называемое среднее квадратическое отклонение.

Определение 1.8. Средним квадратическим отклонением СВ X называют квадратный корень из дисперсии:

. (1.5)

Дадим определение еще одной числовой характеристики, как мода ДСВ.

Определение 1.9. Модой M_o ДСВ X называется ее наиболее вероятное значение.

Пример 1.3. СВ X задана законом распределения:

.

Построить функцию распределения и ее график. Найти числовые характеристики заданного закона распределения.

Решение. 1) Найдем функцию распределения ДСВ X. Значения СВ X: разбивают числовую прямую на четыре промежутка .

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Таким образом, получаем следующую функцию распределения:

.

График данной функции имеет вид:

2) Найдем числовые характеристики ДСВ X.

Найдем математическое ожидание:

.

Найдем дисперсию:

.

Найдем среднее квадратическое отклонение:

.

Мода соответственно равна M_o=10.



Пример 1.4. Найти закон распределения ДСВ , которая может принимать только два значения с вероятностью и (причем ), если известны математическое ожидание и дисперсия .

Решение. Поскольку , а , то . Тогда имеем следующий закон распределения:

.

По формулам (1.2) и (1.4) получаем:

;

.

Составляем систему уравнений

 .

Решив систему уравнений, получаем два решения: , или , . По условию задачи подходит первое решение.

Итак, , . 