- •Раздел 2
- •1. Дискретные одномерные
- •1.1. Закон распределения дсв. Функция распределения дсв
- •Свойства функции распределения
- •1.2. Числовые характеристики дсв
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •1.3. Законы распределения дсв
- •Биноминальное распределение
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение
- •Закон Пуассона
- •2. Непрерывные одномерные
- •Интегральная и дифференциальная функции распределения нсв
- •Свойства интегральной функции нсв
- •Свойства дифференциальной функции нсв
- •Числовые характеристики нсв
- •Законы распределения нсв
- •2.3.1. Равномерное распределение
- •2.3.2. Показательное (экспоненциальное) распределение
- •2.3.3. Элементы теории надежности
- •2.3.4. Нормальное распределение
- •Свойства плотности вероятности нормального распределения
- •3. Моменты случайной величины
- •4. Закон больших чисел
- •5. Системы двух
- •Свойства интегральной функции распределения
- •Свойства дифференциальной функции распределения
Законы распределения нсв
Рассмотрим часто встречающиеся законы распределения НСВ: равномерный, показательный и нормальный.
2.3.1. Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина , которая принимает значения только на отрезке a; b с постоянной плотностью распределения, называется распределенной по равномерному закону.
Таким образом, плотность распределения имеет вид:
.
График дифференциальной функции равномерного закона НСВ X имеет вид:
Интегральная функция распределения НСВ X, которая распределена по равномерному закону, имеет вид:
.
График интегральной функции равномерного закона НСВ X имеет вид:
Математическое ожидание и дисперсия равномерной СВ:
.
Применение: Надо отметить, что равномерный закон распределения применяется при работе с округленными числами, измерение каких-либо величин по шкале измерительного прибора.
Пример 2.5. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего деления. Определить закон распределения ошибки округления. Найти среднеквадратическую ошибку округления . Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка менее 0,04.
Решение. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину , которая имеет равномерное распределение в промежутке между соседними делениями. Длина длина промежутка, в котором заключены все возможные значения случайной величины . Плотность распределения вероятностей данной случайной величины имеет следующий вид:
.
Сначала найдем дисперсию равномерной СВ :
.
Используем формулу (2.11) и находим среднеквадратическую ошибку округления.
.
Ошибка отсчета будет менее 0,04, если случайная величина заключена в интервале или . Для нахождения вероятности события заключающегося в том, что при отсчете будет сделана ошибка менее 0,04, воспользуемся формулой (2.5):
2.3.2. Показательное (экспоненциальное) распределение
Непрерывная случайная величина X, которая принимает только неотрицательные значения с плотностью распределения,
называется распределенной по показательному закону с параметром , где >0.
График дифференциальной функции показательного закона НСВ X имеет вид:
Интегральная функция распределения НСВ, распределенной по показательному закону, имеет вид:
График интегральной функции показательного закона НСВ X имеет вид:
Математическое ожидание и дисперсия показательно распределенной СВ X:
.
Применение: Надо отметить, что показательный закон распределения применяется в теории массового обслуживания; время ремонта, время простоя в очереди, время обслуживания.
Пример 2.6. Технический осмотр и обслуживание машин продолжается в среднем 2 часа. Составить закон распределения, если СВ X время техосмотра машины распределено по показательному закону. Найти среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что машина пройдет техосмотр менее чем на 1 час.
Решение. Среднее время техосмотра равно 2 часа, а это математическое ожидание . Значит, параметр . Плотность распределения вероятностей СВ X имеет следующий вид:
.
Интегральная функция распределения СВ X имеет следующий вид:
.
Для показательного закона распределения , а . Следовательно .
Чтобы найти вероятность того, что машина пройдет техосмотр менее чем на 1 час, воспользуемся формулой (2.1):
.