Свойства дифференциальной функции нсв

Свойство 1. Дифференциальная функция неотрицательна, т.е.

.

Свойство 2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от до равен единице:

. (2.4)

Теорема 2.1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от до :

. (2.5)

Доказательство. Воспользуемся соотношением из следствия 2.1.

.

По формуле Ньютона – Лейбница

.

Таким образом,

. 

Следствие 2.3. Если  плотность распределения вероятностей, то интегральную функцию распределения можно найти по формуле

. (2.6)

График функции называют кривой плотности распределения случайной величины или просто кривой вероятностей. Отметим особенности, которые присущи любой кривой вероятности:

1) она всегда лежит в верхней координатной полуплоскости;

2) площадь, заключенная между этой кривой и осью абсцисс, равна 1.

Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное между и – это площадь заштрихованной криволинейной трапеции.

Пример 2.1. Дана функция распределения СВ X:

.

Найти плотность распределения . Построить графики функций и . Найти вероятность попадания СВ X на отрезок .

Решение. 1) Чтобы найти плотность вероятности, воспользуемся формулой 2.3. Тогда получаем

.

2) Строим графики функций и

3) Находим вероятность попадания СВ X на отрезок , используя формулу 2.2. (Отметим то, что для нахождения вероятности попадания СВ X на отрезок можно воспользоваться формулой 2.5).

.



Пример 2.2. Найти интегральную функцию по данной дифференциальной функции

.

Решение. Чтобы найти интегральную функцию распределения, воспользуемся формулой 2.6.

Если , то .

Если , то

.

Если , то

.

Следовательно, получаем следующую интегральную функцию распределения

.



2. Числовые характеристики нсв

Рассмотрим числовые характеристики для непрерывной случайной величины.

Начнем с математического ожидания.

Пусть непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией . Допустим, что все возможные значения принадлежат отрезку . Разобьем этот отрезок на n частичных отрезков длиною и выберем в каждом из них произвольную точку . Имея в виду задачу: определить математическое ожидание непрерывной величины по аналогии с дискретной, составим сумму произведений возможных значений x_i на вероятности попадания их в интервал (напомним, что произведение приближенно равно вероятности попадания в интервал ):

.

Перейдем к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных отрезков, т.е. . Так как – непрерывная функция, то существует и равен .

Определение 2.4. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл:

. (2.7)

Если возможные значения принадлежат всей числовой оси Ox, то

. (2.8)

По аналогии с дисперсией дискретной величины определяется дисперсия непрерывной величины.

Определение 2.5. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

. (2.9)

Но для вычисления дисперсии лучше использовать следующую формулу:

. (2.10)

Определение 2.6. Средним квадратическим отклонением непрерывной СВ X называют квадратный корень из дисперсии:

. (2.11)

Кстати, можно доказать, что свойства математического ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непрерывных величин.

Определение 2.7. Модой непрерывной случайной величины называют такое ее значение M_o, при котором плотность распределения вероятности достигает максимум.

Определение 2.8. Медианой непрерывной случайной величины называют такое ее значение M_е, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины X, т.е.

.

Геометрический смысл M_е: M_е – это абсцисса точки, в которой площадь фигуры, ограниченной кривой , делится пополам.

Пример 2.3. Дана функция распределения СВ X:

.

Найти числовые характеристики СВ X:

Решение. В примере 2.1. для данной интегральной функции распределения была найдена дифференциальная функция распределения. Запишем ее:

.

Далее последовательно вычисляем:

1) .

2) ,

.

3) .

4) Согласно определению 2.7. находим производную функции плотности распределения вероятности.

,

.

В точке функция достигает максимума, значит, .

5) Найдем медиану НСВ X, используя формулу

.

.

.

Итак, .



Пример 2.4. Случайная величина принимает значения только на сегменте с плотностью . Найти коэффициент C и числовые характеристики СВ X. Найти вероятность того, что случайная величина X попадет в промежуток .

Решение. Так как p(x)=0 при , то из условия следует, что

,

,

Значит, C=1.

Найдем числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

1) По формуле математического ожидания получаем

.

2) По формуле дисперсии имеем

.

3) .

4) Найдем моду случайной величины. Для этого сначала продифференцируем функцию плотности вероятности.

,

.

В точке функция достигает максимума, значит, .

5) Найдем медиану случайной величины, используя формулу

.

.

.

6) Найдем вероятность того, что случайная величина X попадет в промежуток :

.

