2. Непрерывные одномерные

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

1. Интегральная и дифференциальная функции распределения нсв

Дискретная СВ задается перечнем всех своих возможных значений и их вероятностей. Такой закон распределения ДСВ чаще всего бывает представлен в виде таблицы. Но этот способ не является общим. Он не применим, например, для непрерывной случайной величины, возможные значения которой заполняют некоторый промежуток.

Чтобы задать закон распределения непрерывной СВ вводят интегральную функцию распределения.

Определение 2.1. Интегральной функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее , т.е.

. (2.1)

Геометрически это равенство можно истолковать так: есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки .

Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины.

Определение 2.2. Случайная величина называется непрерывной, если ее интегральная функция распределения непрерывно дифференцируемая.

Рассмотрим свойства интегральной функции распределения непрерывной СВ, которые примем без доказательства.

Свойства интегральной функции нсв

Свойство 1. Значения интегральной функции принадлежит отрезку 0; 1, т.е.

.

Свойство 2. – неубывающая функция, т.е.

.

Свойство 3. Функция распределения непрерывна слева, т.е.

.

Свойство 4. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси , то справедливы следующие предельные соотношения:

.

Из свойства 2 вытекают два следствия, которые примем без доказательства.

Следствие 2.1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению интегральной функции на этом интервале:

. (2.2)

Следствие 2.2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равно нулю, т.е.

.

Выше дали определение непрерывной случайной величины, как случайной величины, функция распределения которой непрерывно дифференцируемая. В этом случае имеет производную, которую обозначим через , т.е. . Выясним вероятностный смысл функции . Возьмем какой-нибудь полуинтервал . Вероятность попадания значения на этот полуинтервал, т.е. , равна (следствие 2.1.):

.

Если правую и левую части этого равенства разделить на длину полуинтервала , получим

.

Левая часть – это отношение вероятности попадания значения случайной величины X на полуинтервал к длине этого полуинтервала, которое называют средней плотностью распределения вероятностей на полуинтервале . Если перейти к пределу при , получим

.

Предел средней плотности равен , и его называют плотностью распределения (дифференциальной функцией распределения) случайной величины X.

Определение 2.3. Дифференциальной функцией распределения (плотностью распределения) называют первую производную от интегральной функции:

. (2.3)

Рассмотрим свойства дифференциальной функции распределения непрерывной случайной величины, которые примем без доказательства.