Свойства интегральной функции распределения

Перечислим свойства интегральной функции двумерной случайной величины без доказательства.

Свойство 1. Значение интегральной функции удовлетворяют двойному неравенству:

.

Свойство 2. есть неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.:

;

.

Свойство 3. Имеют место предельные соотношения:

;

;

;

.

Свойство 4. непрерывна слева по каждому из аргументов.

Свойство 5. а) При интегральная функция системы становится интегральной функцией составляющей X:

.

б) При интегральная функция системы становится интегральной функцией составляющей Y:

.

Выясним, как можно найти вероятность попадания точки в прямоугольник.

Рассмотрим прямоугольник ABCD со сторонами, параллельными координатным осям. Пусть уравнения сторон таковы:

.

Найдем вероятность попадания случайной точки (X; Y) в этот прямоугольник. Искомую вероятность можно найти, например, так: из вероятности попадания случайной точки на отрезок AB (эта вероятность равна ) вычесть вероятность попадания точки на отрезок CD (эта вероятность равна ):

. (5.6)

Мы задавали двумерную случайную величину при помощи интегральной функции. Непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь дифференциальной функцией распределения. Здесь и далее мы будем предполагать, что интегральная функция всюду непрерывна и имеет непрерывную смешанную частную производную второго порядка.

Определение 5.3. Дифференциальной функцией распределения двумерной непрерывной случайной величины называют вторую смешанную частную производную от интегральной функции:

. (5.7)

Зная дифференциальную функцию , можно найти интегральную функцию по формуле

, (5.8)

что непосредственно следует из определения дифференциальной функции.

Рассмотрим свойства дифференциальной функции, которые примем без доказательства.

Свойства дифференциальной функции распределения

Свойство 1. Дифференциальная функция неотрицательна:

.

Свойство 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от дифференциальной функции равен единице:

. (5.9)

Пример 5.1. Дана дифференциальная функция распределения

.

Найти:

1. интегральную функцию распределения;

2. .

Решение. 1) Дифференциальная функция задана на всей плоскости . Воспользуемся формулой (5.8):

.

Итак, получаем следующую интегральную функцию распределения

.

2) Используя формулу (5.6), получаем:

.



Если известна дифференциальная функция системы двух случайных величин, то можно найти не только интегральную функцию распределения, но и интегральные функции составляющих компонент (маргинальные функции распределения). Маргинальные функции распределения находятся по следующим формулам:

;

.

Если известна дифференциальная функция системы двух случайных величин, то можно найти и дифференциальные функции составляющих компонент (маргинальные плотности распределения вероятностей). Дифференциальные функции составляющих компонент находятся по следующим формулам:

;

.

Раньше было установлено, что если события A и B зависимы, то условная вероятность события B отличается от его безусловной вероятности. В этом случае

.

Аналогичное положение имеет место и для случайных величин. Для того чтобы охарактеризовать зависимость между составляющими двумерной случайной величины, введем понятие условного распределения.

Рассмотрим дискретную двумерную СВ (X; Y). Пусть возможные значения составляющих таковы

.

Определение 5.4. Условным распределением дискретной двумерной СВ дискретную двумерную СВ (X; Y) составляющей X при называют совокупность условных вероятностей

,

вычисленных в предположении, что событие (j имеет одно и то же значение при всех значениях X) уже наступило.

Аналогично определяется условное распределение составляющей Y.

В общем случае условные законы распределения дискретную двумерную СВ (X; Y) для составляющей X определяется соотношением

. (5.10)

Для составляющей Y условные законы распределения определяются соотношением:

. (5.11)

Пример 5.2. Найти законы распределения составляющих двумерной случайной величины, заданной законом распределения

Найти условный закон распределения составляющей X при условии, что Y=2,6.

Решение. 1) Складываем вероятности по строкам и столбцам. Получаем следующую таблицу:

.

По этой таблице уже не сложно составить законы распределения составляющих X и Y. Закон распределения составляющей X имеет вид:

.

Закон распределения составляющей Y имеет вид:

.

2) Условный закон распределения составляющей X определяется соотношением (5.10). В нашем случае Y=2,6. Тогда

, ,

.

Составляем условный закон распределения составляющей X при условии, что Y=2,6:

.



Пусть (X; Y) – непрерывная двумерная СВ.

Определение 5.5. Условной дифференциальной функцией непрерывная двумерная СВ (X; Y) для составляющей X при данном значении называют отношение дифференциальной функции системы к дифференциальной функции составляющей Y:

. (5.12)

Аналогично определяется условная дифференциальная функция составляющей Y при данном значении :

. (5.13)

Если известна дифференциальная функция системы, то условные дифференциальные функции составляющих могут быть найдены по следующим формулам:

;

.

Для двумерной СВ (X; Y), как и для одномерной случайной величины, рассматривают числовые характеристики: математические ожидания, дисперсии, средние квадратические отклонения составляющих.

Определение 5.6. Математическим ожиданием системы СВ (X; Y) называется точка , где  математические ожидания СВ X и Y составляющих, и которые находятся по следующим формулам

; (5.14)

. (5.15)

Дисперсии СВ (X; Y) системы определяются по формулам:

; (5.16)

. (5.17)

Определение 5.7. Математическое ожидание одной СВ X системы, которое найдено при условии, что другая СВ Y этой системы приняла определенное значение, называется условным математическим ожиданием СВ X и обозначается . Аналогично определяется и .

Условные математические ожидания вычисляются по следующим формулам:

; (5.18)

. (5.19)

Назовем две случайные величины независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Из этого определения следует, что условные распределения независимых величин равны их безусловным распределениям. Рассмотрим необходимые и достаточные условия независимости случайных величин, которые сформулированы в следующей теореме (ее примем без доказательства).

Теорема 5.1. Для того, чтобы СВ X и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы интегральная функция системы (X; Y) была равна произведению интегральных функций составляющих:

.

Следствие. Для того, чтобы СВ X и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы дифференциальная функция системы (X; Y) была равна произведению дифференциальных функций составляющих:

.

Для описания системы двух случайных величин, кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих, используют и другие характеристики, к числу которых относятся корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Определение 5.8. Корреляционным моментом или ковариацией СВ (X; Y) называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

. (5.20)

Для вычисления корреляционного момента ДСВ (X; Y) пользуются формулой

.

А для непрерывных величин –

.

Для расчета корреляционного момента лучше использовать следующую формулу:

. (5.21)

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами X и Y. Корреляционный момент равен нулю, если X и Y независимы. Следовательно, если корреляционный момент не равен нулю, то X и Y – зависимые случайные величины. Но нельзя сказать обратное: если корреляционный момент равен нулю, то не обязательно, что X и Y независимы. В этом случае они называются некоррелированными.

Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей X и Y. Другими словами, величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. По этой причине для одних и тех же двух величин величина корреляционного момента будет иметь различные значения в зависимости от того, в каких единицах была измерены величины.

Такая особенность корреляционного момента является недостатком этой числовой характеристики, поскольку сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин становится затруднительным. Для того, чтобы устранить этот недостаток, вводят новую числовую характеристику – коэффициент корреляции.

Определение 5.9. Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин

. (5.22)

Очевидно, коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю.

Пример 5.3. Дан закон распределения ДСВ (X; Y) (условие примера 5.2):

Найти:

1) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для каждой из СВ и ;

2) условное математическое ожидание ;

3) корреляционный момент , коэффициент корреляции между и .

Решение. 1) Для нахождения числовых характеристик воспользуемся законами распределения составляющих X и Y, которые имеют вид (см. пример 5.2):

и .

Находим математические ожидания и системы ДСВ (X; Y) по следующим формулам:

.

;

.

Находим дисперсии и системы ДСВ (X; Y):

;

.

Находим средние квадратические отклонения и системы ДСВ (X; Y):

;

.

2) Чтобы найти условное математическое ожидание , воспользуемся условным законом распределения составляющей X при условии, что Y=2,6:

.

.

3) Корреляционный момент находится по формуле:

.

Тогда, .

Находим коэффициент корреляции системы ДСВ (X; Y):

.

