- •Раздел 2
- •1. Дискретные одномерные
- •1.1. Закон распределения дсв. Функция распределения дсв
- •Свойства функции распределения
- •1.2. Числовые характеристики дсв
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •1.3. Законы распределения дсв
- •Биноминальное распределение
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение
- •Закон Пуассона
- •2. Непрерывные одномерные
- •Интегральная и дифференциальная функции распределения нсв
- •Свойства интегральной функции нсв
- •Свойства дифференциальной функции нсв
- •Числовые характеристики нсв
- •Законы распределения нсв
- •2.3.1. Равномерное распределение
- •2.3.2. Показательное (экспоненциальное) распределение
- •2.3.3. Элементы теории надежности
- •2.3.4. Нормальное распределение
- •Свойства плотности вероятности нормального распределения
- •3. Моменты случайной величины
- •4. Закон больших чисел
- •5. Системы двух
- •Свойства интегральной функции распределения
- •Свойства дифференциальной функции распределения
2.3.4. Нормальное распределение
Непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение (закон Гаусса) с параметрами a и , если её плотность вероятности имеет вид:
, где >0.
График дифференциальной функции нормального закона НСВ X имеет вид:
Обозначим через множество СВ, распределенных по нормальному закону с параметрами и . Интегральная функция распределения нормальной СВ XN(a; ) равна
.
График интегральной функции нормального закона НСВ X имеет вид:
Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: a и . Достаточно задать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Выясним вероятностный смысл этих параметров.
1) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины
=(Приняв по внимание, что новые пределы интегрирования равны старым)=
=(Первый интеграл: под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат.
Второй интеграл: интеграл Пуассона .)
Итак, , т.е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру a.
2) По аналогии можно показать, что дисперсия непрерывной случайной величины, которая распределена по нормальному закону распределения, равна , где - второй параметр нормального распределения.
Следовательно, .
Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру .
Применение: Надо отметить, что по нормальному закону распределено большое количество случайных величин. Этому закону подчиняется распределение роста двадцатилетнего мужчины; вес женщины, рост которой равен 170 см; дальность полета снаряда; результат измерения длины, массы, времени и т.д.
Нормированным (стандартным) называют нормальное распределение с параметрами a=0 и =1. Например, если X – нормальная величина с параметрами a и , то – нормированная нормальная величина, причем M(U)=0, . Множество нормированных нормальных распределений обозначим N(0; 1).
Дифференциальная функция нормированного распределения
.
Эта функция табулирована (таблица локальной функции Лапласа).
Интегральная функция нормированного распределения имеет вид:
.
Эта функция тоже табулирована.
Вероятность попадания нормированной нормальной величины X в интервал (0; x) можно найти, используя функцию Лапласа , т.е. покажем, как взаимосвязаны интегральная функция Лапласа и интегральная функция нормированного распределения.
.
Учитывая, что и, следовательно, в силу симметрии (x) относительно нуля, . Значит, .
Тогда
.
Итак, .
Мы уже знаем, что если случайная величина X задана дифференциальной функцией p(x), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a;b), такова:
Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (x1; x2), равна
.
Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую переменную . Отсюда . Найдем новые пределы интегрирования. Если , то ; если , то .
Таким образом, имеем
(Воспользуемся функцией Лапласа)=
.
Итак, получаем
. (2.15)
Пример 2.9. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (16; 52).
Решение. По условию . Следовательно,
.
По таблице значений интегральной функции Лапласа определяем и .