5. Системы двух
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называют одномерными. Например, число очков, которое может выпасть при бросании игральной кости – дискретная одномерная величина; расстояние от орудия до места падения снаряда – непрерывная одномерная случайная величина.
Кроме одномерных СВ, изучают величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя, …, n числами. Такие величины называют соответственно двумерными, трехмерными, …, n-мерными.
Будем обозначать через
двумерную случайную величину. Каждую
из величин X и Y
называют составляющей (компонентой);
обе величины X и Y,
рассматриваемые одновременно, образуют
систему двух случайных величин. Аналогично
n-мерную величину
можно рассматривать как систему n
случайных величин. Например, станок-автомат
штампует стальные плитки. Если
контролируемыми размерами являются
длина X и ширина Y,
то имеем двумерную случайную величину
;
если же контролируется и высота Z,
то имеем трехмерную величину
.
Двумерную случайную величину
геометрически можно истолковать либо
как случайную точку
на плоскости (т.е. как точку со случайными
координатами), либо как случайный вектор
.
Трехмерную случайную величину
геометрически можно истолковать как
точку
в трехмерном пространстве, или как
вектор
.
Целесообразно различать дискретные (составляющие этих величин дискретны) и непрерывные (составляющие этих величин непрерывны) многомерные случайные величины.
Определение 5.1. Законом
распределения двумерной ДСВ называют
перечень возможных значений этой
величины, т.е. пар чисел
и их вероятностей
,
где
.
Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом.
Первая строка таблицы содержит все
возможные значения составляющей X,
а первый столбец – все возможные значения
составляющей Y. В
клетке, стоящей на пересечении «столбца
»
и «строки
»,
указана вероятность
того, что двумерная случайная величина
примет значение
.
Так как события
,
образуют полную группу, то сумма
вероятностей, помещенных во всех клетках
таблицы, равна единицы, т.е.
.
(5.1)
Зная закон распределения двумерной
случайной величины, можно найти закон
распределения каждой из составляющих
(маргинальный закон распределения).
Например, события
несовместны, поэтому, чтобы найти
вероятность
того, что X примет
значение
,
т.е. вероятность
,
надо просуммировать вероятности столбца
:
.
(5.2)
Аналогично сложив вероятности «строки », получим вероятность:
.
(5.3)
А теперь введем понятие интегральной функции распределения двумерной случайной величины.
Рассмотрим двумерную случайную величину
(безразлично дискретную или непрерывную).
Пусть
- пара действительных чисел.
Определение 5.2. Интегральной
функцией распределения двумерной
СВ (X; Y)
называют функцию
,
определяющую для каждой пары чисел
вероятность того, что X
примет значение, меньшее x
и при этом Y примет
значение, меньшее y:
.
(5.4)
Геометрически это равенство можно истолковать так: есть вероятность того, что случайная точка попадет в бесконечный квадрант с вершиной , расположенный левее и ниже этой вершины.
Для дискретной СВ :
,
(5.5)
где суммирование производится по всем
тем точкам
,
для которых одновременно
и
.