56. Задача коррелатного способа уравнивания, составление системы уравнений коррелат. Решение системы с помощью обозначений гаусса.

Пусть дана система n линейных уравнений с r неизвестными, при чем n<r

a₁x+a₂y+a₃z+a₄t+l₁=0 (a)

b₁x+b₂y+b_3z+b₄t+l₁=0

n=2,r=4

Известно, что система уравнений, у которой неизвестных больше чем уравнений, не определена, то есть допускает множественность решений. Найдем из этого множества такое одно значение неизвестных x,y,z,t, которое удовлетворяло бы каждому из уравнений системы (а), и давало бы наименьшее значение суммы их квадратов, то есть x²+y²+z²+^t2=min (б).

Составим функцию f(x,y,z,t). Умножим уравнения системы (а) на произвольные множители (-2К₁) и (-2К₂), которые называются коррелатами.

-2a₁k₁x-2a₂k₁y-2a₃k₁z-2a₄k₁t-2l₁k₁=0 (в)

-2b₁k₂x-2b₂k₂y-2b₃k₂z-2b₄k₂t-2l₂k₂=0

Прибавим уравнения системы (б):

f(x,y,z,t)=x²-2(a₁k₁+ b₁k₂)x + y²-2(a₂k₁+b₂k₂)y + z²-2(a₃k₁+b₃k₂)z + t²-2(a₄k₁+b₄k₂)t – 2(l₁k₁+l₂k₂)

Найдем частные производные по переменным x,y,z,t, и приравняем их к 0:

∂F/∂x=2x-2(a₁k₁+ b₁k₂)=0

∂F/∂y=2y-2(a₂k₁+b₂k₂)=0

∂F/∂z=2y-2(a₃k₁+b₃k₂)=0

∂F/∂t=2y-2(a₄k₁+b₄k₂)=0

x₀= a₁k₁+ b₁k₂

y₀= a₂k₁+b₂k₂

z₀= a₃k₁+b₃k₂

t₀= a₄k₁+b₄k₂

Подставим значения неизвестных в уравнения системы (а):

a₁(a₁k₁+ b₁k₂)+a₂(a₂k₁+b₂k₂)+a₃(a₃k₁+b₃k₂)+a₄(a₄k₁+b₄k₂)+l₁=0

b₁(a₁k₁+ b₁k₂)+b₂(a₂k₁+b₂k₂)+b₃(a₃k₁+b₃k₂)+b₄(a₄k₁+b₄k₂)+l₂=0

Решая эти уравнения относительно коррелат, получим:

(a²₁+a²₂+a²₃+a²₄)k₁+(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+a₄b₄)k₂+l₁=0

(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+a₄b₄)k₁+(b²₁+b²₂+b²₃+b²₄)k₂+l₂=0

[aa]k₁+[ab]k₂+l₁=0

[ab]k₁+[bb]k₂+l₂=0; это уравнения коррелат, то есть система нормальных уравнений.

Число уравнений этой системы будет всегда совпадать с числом коррелат.

57. Сущность параметрического способа уравнивания. Составление системы уравнений поправок. Решение системы с помощью обозначений гаусса.

Пусть дана система n линейных уравнений с r неизвестными.

n>r

a₁x+b₁y+c₁=0

a₂x+b₂y+c₂=0 (a)

……………

a_nx+b_ny+c_n=0

Т.к n>r, то решить эту систему в обычном смысле алгебры невозможно. Будем искать такие значения результатов измерений, которые удовлетворяли бы каждому уравнению системы и с возможно малой погрешностью. Подставим х и у(результаты измерений) в систему (а), видим, что уравнения удовлетворяться не будут.

a₁x+b₁y+c₁=v₁

a₂x+b₂y+c₂=v₂

…………… (б)

a_nx+b_ny+c_n=v_n

где v₁, v₂, v_n – погрешности, (б)-система уравнений поправок.

Далее нужно рассматривать сумму квадратов этих поправок как общую меру ошибок, вносимых в уравнение системы (а) подстановку в левую часть x и y и искать такие значения их, для кот. сумма квадратов этих поправок минимальна.

Для решения:

F(x,y)=v₁²+v₂²+…+v_n²

F(x,y)=(a₁x+b₁y+c₁)²+(a₂x+b₂y+c₂)²+…+( a_nx+b_ny+c_n)²

По условию min эти функции необходимо исследовать на экстремум, т.е найти min функции по x и y, а затем взять общее значение.

∂F/∂x=2a₁(a₁x+b₁y+c₁)+2a₂(a₂x+b₂y+c₂)+…+2a_n( a_nx+b_ny+c_n)

∂F/∂y=2b₁(a₁x+b₁y+c₁)+2b₂(a₂x+b₂y+c₂)+…+2b_n( a_nx+b_ny+c_n) (в)

Решая эти уравнения относительно x и y умножим, сгруппируем и получим:

(a₁²+a₂²+…+a_n²)x+(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)y+(a₁c₁+a₂c₂+…+a_nc_n)=0

(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)x+(b₁²+b₂²+…+b_n²)y++(b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n)=0 (г)

Обозначив полученные уравнения по Гауссу:

[aa]x+[ab]y+[ac]=0

[ab]x+[bb]y+[bc]=0 (д)

Система уравнений (д): n=r поэтому она является обычной системой и уравнения этой системы называются нормальными. Решая эту систему находят корни частных производных x₀ и y₀ при которых функция F(x,y) будет иметь min при условии что сумма квадратов (г) минимальная.