22. Неравноточные измерения. Веса измерений и их св-ва. Вес арифм. Середины.

Если результаты измерений получены не в одинаковых условиях, то измерения называются неравноточными.

При обработке неравноточных измерений вводят новую характеристику точности- вес. Вес-степень доверия к результатам измерения, выраженная числом, очевидно, что чем лучше условия измерения, тем надежнее результаты, тем больше должен быть его вес, т.е вес характеризует условия измерения. Но условия измерения также характеризует СКО. Р=К/m², К –произвольное число, но одно и тоже для всех весов, участвующих в решении задачи. Т.к. К – это произвольное число и служит только для относительной характеристики точности, то вес дает представление о точности результатов измерений только при сравнении с весами других результатов.

Свойства: 1. Веса однородных измерений можно увеличивать или уменьшать в одно и тоже число раз, их отношение при этом не изменится.

2.Веса 2-х измерений обратно пропорциональны квадратам их СКО. Р₁=К/m²₁, Р₂=К/m²₂, Р₁/Р₂=m²₂/m²₁.

Из определения веса следует, что равноточные измерения имеют равные веса, а неравноточные – неравные.

Вес арифметической середины. Пусть произведено n равноточных измерений какой-либо величины и измерения сопровождались ошибкой m, тогда согласно определению веса для данных условий Р=К/m², тогда вес арифметического среднего Р_а=K/M², M²=m_в/√n. P_а/P=m²/(m/√n)². примем величину веса одного измерения Р=1, тогда найдем отсюда величину веса арифметической средины Р=n.

23. Вес дирекционного угла n-ой стороны теодолитного хода.

α=α₀+180°n-ß₁-ß₂-ß₃-…-ß_n.

U=±х₁±х₂±….±х_n.

Если m₁=m₂=…m_n , то m_u= m_x√n, тогда m_α=m_ß√n.

Перейдем к весу этой ф-и.

P_α=К/m²_α, Р_α=К/m²_βn, K/m²_β=C, Р_α=с/n.

Т.е. вес будет обратно пропорционален количеству измеренных углов.

24. Вес суммы превышений нивелирного хода. Вывод формулы.

Известно что суммарное превышение нивелирного хода при геометрическом нивелировании составляет его невязку если ход замкнутый.

∑h=h₁+h₂+…+h_n

m_h1= m_h2=… m_hn

Если изм. были выполнены равноточно то m_∑h=m_h√n, n=L/d, где L-длина всего нивелирного хода, d-среднее расстояние м/у рейками.

m_∑h=(m_h√L)/√d, если L=1км; m_∑h=m_n/√d=mкм,

mкм- ошибка километрового хода

m_∑h=m_км√L_км; Р_∑h=К/m_h²=C/L.

Вес нивелирного хода обратно пропорционален длине этого хода.

25. Вес линии, измеренной лентой и нитяным дальномером. Вывод формулы.

S=ln, В результате отложения ленты получим следующее выражение S=l₁ +l₂+l₃ +…+l_n.

m_S=m√n, где m- ошибка одного откладывания ленты, n – число отложений

n=S/l, m_S=(m√S)/√l, m/√l=μ_s, m_S=μ_S√S, μ_S-коэффициент случайного влияния изм. S=1м; m_s=μ_s√1, m_s=μ_s , Р_S=K/m_S², P_S=K/μ_S²S, P=c/S.

Вес нитяного дальномера S=Kl, где К-постоянная дальномера, m_S=Km_l, P_S=K'/K²m²_l, K=S/l, P_S=c/S²,

P_S= K'l²/S²m²_l.

26. Средняя квадратическая ошибка единицы веса по истинным ошибкам и вероятнейшим поправкам.

СКО единицы веса - это есть СКО измерения вес которого принят за 1. μ (P=1)

Согласно св-ву весов: P_i/1=μ²/m_i², m_i=μ√1/P_i^-1,

μ=m_i√P_i – ошибка единицы веса измерения с весом равным единице. Найдем СКО 1-ы веса по истинным ошибкам.

l₁,l₂ l₃…l_n

P₁,P₂,P₃…P_n

μ ₁,∆₂,∆₃,…,∆_n

μ ₁=∆₁√Р₁,

μ ₂=∆₂√Р₂,

μ _n=∆_n√Р_n.

Возведем в квадрат и просуммируем.

[μ ²]/n=[∆²P]/n,

μ _ср=√(([∆²P])/n) - СКО единицы веса по истинным ошибкам.

СКО единицы веса через поправки (по вероятнейшим ошибкам):

μ=√([Pv²]/(n-1))

27.Определение веса функции общего вида U=F(X₁,X₂,…,X_N).

Если известны веса аргументов функций, то можно найти вес самой функции.

P=1/m²,

Для ограниченного количества измерений n<30 применяют формулу P=1/δ²

m²=1/P- обратный вес.

Обратный вес функции общего вида можно вынести, зная величину СКО для функции любого вида. Эта величина выражается следующей зависимостью.

m_U=√∑(∂f/∂x_i)²m²_xi,

1/P_U=∑(∂f/∂x_i)²1/P_xi.

28.Определение веса линейных функций вида U=KX(K-const), U=X+Y.

U=∑K_iX_i,

1/P=∑Ki² *1/P.

U=∑(±X_i)

1/P_u=∑1/P_Xi; P₁=P₂=…=P_n

Если веса будут одинаковыми, а измерения равноточными то тогда 1/P_U=n/P, P_U=P/n.

29. Оценка точности по разностям двойных неравноточных измерений, если веса каждой пары измерений одинаковы (в случае влияния систематических ошибок и в случае отсутствия влияния систематических ошибок).

Имеем ряд 2-ых равноточных измерений каждое соответствующее весу.

x₁,x₂,…,x_n

x₁^',x₂^',…,x_n^'. P_xi≈ P_xi≈ P_i

d_i=x_i-x_i^'

m_di²=m_xi²+ m_xi²

x_i= (x_i+x_i^')/2

m_xi²=1/4(m_xi²+ m_xi²)

1/P_xi=1/4((1/P_xi)+(1/P_xi^'));P_xi=P_xi=P_i

1/P_x=1/4(1/P_i)+(1/P_i^')

P_x=2P_i

Тогда при отсутствии систематических ошибок или несущественном их влиянии, ошибка единицы веса через истинные ошибки будет равна:

μ_∆=√([∆² P]/n), но

∆=d

μ_d=√([Pd²]/2n)

m_x=μ/√2P_i

Если влияние систематической ошибки велико то находят систематическую ошибку разности двойных неравноточных измерений.

θ=[Pd]/P

∂_i=d_i- θ

μ=√([P∂²]/(2(n-1)))

Все вычисления контролируются по формулам:

[Pv]=0; [Pv] ≠ 0; [Pv]=[P]w, w=L_точ-L_окр