12. Средняя, вероятная, средняя квадратическая и предельная ошибки измерений, связь м/у ними. Абсолютная и относительная ошибки измерений. Понятие о видах распределения ошибок.

Средняя ошибка полученная как среднеарифметическое из истинных ошибок, дает неверное представление о точности результатов, так как при сложении положительных и отрицательных ошибок компенсируется. Поэтому определяют среднее арифметическое из абсолютных значений ошибок.

v=[|∆|]/n, где ∆-среднеарифметическое, n-число измерений.

В таком случае средняя ошибка наиболее достоверна, но средняя ошибка недостаточно точно характеризует результаты измерений, т.к сглаживает влияние больших по величине ошибок.

Чтобы усилить их влияние нужно их возвести в квадрат и получают средние квадратические ошибки.

m=√([∆²]/n)

Преимущество СКО по сравнению со средними:

1.Учитывают влияние больших по величине ошибок.

2.СКО одного измерения (m_e) определенная из небольшого числа измерений мало отличается от СКО большого числа таких же измерений.

При оценке точности результатов измерений достаточно чтобы в оценке участвовали 4 рез-та, которые дадут однозначное значение ошибки.

При оценке точности после определения СКО необходимо вычислить ошибку самой ошибки (надежность ошибки):

m_ml=m_l/√2n

Зная СКО можно установить предельную ошибку, абсолютное значение которой является верхней границей допустимых при данных условиях измерений размеров ошибок. ∆_пр=ґ_m, где ґ=2;2,5;3. Предельная ошибка устанавливается инструкциями на все виды работ и называется служебный допуск.

Вероятная ошибка - такое значение случайной ошибки при данных условиях измерения по отношению к которой ошибки и большие и меньшие по абсолютной величине встречаются одинаково часто. В теории вероятности доказано, что при достаточно большом числе измерений существуют следующие зависимости: вероятная ошибка составляет 2/3 квадратической ошибки, а средняя ошибка составляет 4/5 от средней квадратической ошибки.

r=2/3m; v=4/5m.

Истинная, средняя, вероятная, СКО, предельные ошибки называются абсолютными. В тех случаях когда на точность измерений влияет размер определяемой величины, то оценка точности по абсолютной ошибке становится недостаточной и судить о качестве измерений нельзя.

Во всех таких случаях для точности применяют понятие относительная ошибка - отвлеченное число выражающее отношение абсолютной ошибка измерения к его результату.

13. Математическая обработка равноточных измерений. Арифметическое среднее, ско арифметической середины.

1.Имеется ряд равноточных измерений l₁,l₂…,l_n. За окончательное значение принимаем среднее из них.

L=(l₁+l₂+…+l_n)/n=[l]/n.

Сравним каждый результат с точным значением x и получим ряд истинных ошибок.

∆₁=l₁-x

∆₂=l₂-x

…..

∆_n=l_n-x

где х - точное значение измеренной величины.

Сложим все и получим [∆]=[l]-nx.

Выразим отсюда величину точного значения

x=[l]/n-[∆]/n.

При бесконечном числе измерений среднее арифметическое значение их находится ближе всего к точному их значению х, чем любой из результатов измерений (l₁,l₂…l_n) поэтому его называть вероятнейшим значением измеренной величины.

2. Если X-точное значение измеренной величины, а L -вероятнейшее значение, то М-ошибка арифметического среднего или вероятнейшее значение измереной величины.

М= L-x;

Для вывода формулы определим зависимость между ошибками. Воспользуемся рядом истинных ошибок:

∆₁=l₁-x

∆₂=l₂-x

…..

∆_n=l_n-x

Сложим равенства и разделим на n(количество измерений).

[∆]/n=([l]/n)-x

[∆]/n=L-x

M=[∆]/n

Возведем в квадрат:

M²=(∆₁²+∆₂²+…+∆_n²+2∆₁∆₂+2∆₁∆₃+…+2∆₁∆_n+…+2∆₂∆₃+2∆₂∆₄+…+2∆₂∆_n+…+2∆_n-1∆_n)/n²

В числителе этой формулы удвоенные произведения имеют разные знаки и при возрастании числа измерений сумма их стремится к 0 поэтому отбросив их получим приближенные равенства.

M²=(∆₁²+∆₂²+…+∆_n²)/ n²

M²=[∆²]/n²

m_l=√([∆²]/n)

M=m_l/√n

m_L= m_l/√n – среднеквадратическая ошибка вероятнейшего значения через СКО

Средняя ошибка меньше СКО одного измерения.

14-15.Оценка точности результатов равноточных измерений по истинным ошибкам. Формулы, порядок вычислений.

Случайные ошибки в ряду измерений отличаются одна от другой на незначительную величину. О точности измерений можно судить по значению средней ошибки.

Средняя ошибка, полученная как среднее арифметическое из истинных ошибок, дает неверное представление о точности результатов, так как при сложении положительных и отрицательных ошибок компенсируется. Поэтому определяют среднее арифметическое из абсолютных значений ошибок.

v=[|∆|]/n, где ∆-среднеарифметическое, n-число измерений.

В таком случае средняя ошибка будет наиболее достоверна, но средняя ошибка недостаточно точно характеризует результаты измерений, так как сглаживает влияние больших по величине ошибок.

Чтобы усилить их влияние, их нужно возвести в квадрат. И получают средние квадратические ошибки.

m_l=√[∆²/n]

При оценке точности результатов измерений достаточно, чтобы в этой оценке участвовали всего лишь 4 результата, которые дадут однозначное значение ошибки. При оценке точности после после определения СКО необходимо вычислить ошибку самой ошибки (надежность ошибки):

m_ml=m_l/√2n