6. Трехфазные электрические цепи

1. Общие сведения

Производство, передача и распределение электрической энергии для промышленных нужд осуществляется, как правило, трехфазными системами. Трехфазная система - это объединенные в одну цепь три однофазные синусоидальные цепи с независимыми источниками энергии одинаковой частоты. Каждую отдельно взятую цепь, принято называть фазой (не нужно путать с начальной фазой - параметром гармонических колебаний).

Основные элементы трехфазной системы: трехфазные генератор, асинхронный двигатель и трансформатор изобретены русским инженером М. О. Доливо-Добровольским в 1891 году.

Трехфазный генератор отличается от однофазного тем, что в пазах его статора размещены не одна, а три обмотки, оси которых повернуты в пространстве относительно друг друга на 120⁰. При вращении ротора в обмотках статора индуктируются синусоидальные ЭДС с начальными фазами, отличающимися друг от друга на треть периода. При равном числе витков обмоток фаз генератора, которые принято обозначать буквами А, В, С, индуктируемые ЭДС образуют симметричную трехфазную систему, временная и векторная диаграммы которой показаны на рис. 6.1, а и б.

а б

Рис. 6.1

Указанный на рис. 6.1 порядок следования (чередования) фаз называют прямым или нормальным. Мгновенные значения симметричной системы фазных ЭДС записываются:

;

; (6.1)

.

Здесь начальная фаза ЭДС фазы (цепи) А принята равной нулю. В комплексной форме для действующих значений имеем:

;

; (6.1 а)

,

где - фазный множитель.

Алгебраическая сумма ЭДС симметричной трехфазной системы равна нулю:

;

. (6.2)

Равенство (6.2) справедливо при соединении фаз (обмоток) генератора звездой (фазы имеют общий узел) и треугольником (фазы соединены последовательно). Наиболее часто фазы генератора соединяют звездой, а общий узел (0), названный нейтралью, заземляют.

Схемы присоединения нагрузок к питающей цепи показаны на рис. 6.2, а в табл. 6.1 указаны фазные и линейные величины.

Рис. 6.2

Таблица 6.1

Соединения Названия величин	Звездой	Звездой с 0	Треугольником
Фазные
Линейные

ПРИМЕЧАНИЕ. 0 - нейтраль генератора, 0^ - нейтраль нагрузок.

2. Симметричная трехфазная цепь

Симметричной называют цепь, комплексные сопротивления фаз которой равны, а система питающих ЭДС (напряжений) - симметричная. При этом очевидно, что фазные и линейные токи (см. рис. 6.2) будут также симметричные. Это означает, что симметричную цепь достаточно рассчитать только на одну фазу, поскольку для других фаз результат можно записать, изменив угол найденной величины на 120⁰. Например, если А,

то А; А,

так как , .

В цепи с нагрузкой, соединенной звездой, фазные напряжения меньше линейных, а линейные и фазные токи равны:

; . (6.3)

В цепи с нагрузкой, соединенной треугольником, линейные и фазные напряжения равны друг другу, а токи отличаются в раз:

; . (6.4)

Если симметричная нагрузка соединена звездой с нулевым проводом (заземленной нейтралью), в нулевом проводе ток и падение напряжения отсутствуют.

ПРИМЕР 6.1. Определить показание амперметра в фазе А симметричной трехфазной цепи по рис. 6.3, а с параметрами R = 10 Ом; Х_С = 30 Ом по известному показанию вольтметра U_V = 173 В.

а б

Рис. 6.3

РЕШЕНИЕ. Самое простое решение - преобразовать симметричный треугольник сопротивлений в эквивалентную звезду, после чего преобразовать две симметричные звезды в одну (рис. 6.3, б). Последнюю операцию следует выполнять в комплексной форме:

; .

Численно: Ом.

Ток I_A определяется фазными напряжением и сопротивлением Z (модуль ):

.

Поскольку вольтметр показывает линейное напряжение, то

и, следовательно,

.

Подставляя численные значения величин, находим:

А.

Можно было бы преобразовать звезду сопротивлений R в эквивалентный треугольник, а затем объединить его с треугольником сопротивлений Х_С:

; Ом.

Ток в фазах нагрузки (соединение треугольником):

А.

Линейный ток (ток амперметра):

А.

Наконец, можно находить ток амперметра как сумму отдельных составляющих токов от нагрузок, соединенных звездой и треугольником. Все операции при этом следует выполнять в комплексной форме, полагая .

; ; .